8.3. Решение рекуррентного уравнения для чисел Фибоначчи

Последовательность чисел Фибоначчи задаётся рекуррентным уравнением , с двумя начальными условиями и . Это значит, что любой член этой последовательности, начиная с третьего члена, равен сумме двух её предыдущих членов. Таким образом, мы можем найти начальные члены этой последовательности. Это будут числа -1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и т.д. Для того, чтобы определить любой член последовательности при больших её номерах, не проводя длительных арифметически расчётов целесообразно решить данное рекуррентное уравнение. Воспользуемся для этого выше приведённой теорией. С этой целью перепишем уравнение в следующем виде:

Анализ этого выражения показывает, что оно представляет собой линейное однородное рекуррентное уравнение второго порядка. Составляем для него характеристическое уравнение -

Его корни - . Следовательно, общее решение исходного рекуррентного уравнения имеет вид:

. (1)

Неизвестные константы и найдём из начальных условий. Для этого в полученную формулу сначала подставим значение , а затем . В результате получим систему линейных :алгебраических уравнений