6.11. Эйлеровы графы.

Содержательная постановка задачи о Кенигсбергских мостах дана в теме 1. Переформулируем эту задачу в терминах теории графов. Для этого рассмотрим следующий неориентированный мультиграф:

В этом графе вершины v₁ и v₄ соответствуют берегам, а v₂ и v₃ – островам. Ребра отображают мосты. Таким образом, на языке теории графов исходная задача формулируется следующим образом: существует ли в указанном мультиграфе цикл, содержащий все ребра данного мультиграфа?

Определение: Цепь (цикл), содержащая все ребра графа и притом по одному разу, называется эйлеровой цепью (эйлеровым циклом). Граф, содержащий эйлеров цикл, называется эйлеровым графом.

Теорема. Для того, чтобы конечный связный неориентированный мультиграф был эйлеровым необходимо и достаточно, чтобы все его вершины имели чётные степени.

Доказательство:

Необходимость. Предположим, что граф является эйлеровым. Это значит, что, в нём есть эйлеров цикл. При этом каждый раз, когда эйлеров цикл проходит через какую-либо вершину, он должен войти в нее по одному ребру, а выйти по другому. Следовательно, условие отсутствия вершин нечетной степени является необходимым.

Достаточность. Предположим, что все вершины связного графа G имеют чётные степени. Тогда, в силу связности графа G, для всех его вершин выполняется условие d(v)>0. Кроме того, в силу чётности вершин, должно быть d(v)2 для всех v. По теореме Эйлера имеем: .Это значит, что: или , и следовательно граф G не является деревом, а поэтому он содержит хотя бы один простой цикл Z₁ (Z₁ - множество ребер), тогда G\Z₁ – остовный подграф, в котором все степени вершин также четные. Исключим из рассмотрения изолированные вершины, тогда в графе G\Z₁ существует простой цикл Z₂G\Z₁, далее выделим Z₃ и т.д. В результате этого получается разбиение множества ребер на простые циклы, то есть: ,где .

Далее, возьмем какой-либо простой цикл из полученного разбиения. Если , то теорема доказана. Если нет, то в силу связности графа G, существуют цикл и вершина v₁ такие, что и . Маршрут, объединяющий и , является циклом. Если , то теорема доказана. Если нет, то имеется цикл , при котором существует вершина v₂ такая, что и . Далее будем наращивать эйлеров цикл до тех пор, пока не исчерпаем всё разбиение. В результате получаем эйлеров цикл всего графа.

Алгоритм построения эйлерова цикла в эйлеровом графе.

Этот алгоритм задается следующими правилами:

1. Выбирается произвольная вершина v.

2. Выбирается ребро e инцидентное вершине v и ему присваивается номер 1 (это ребро называется пройденным).

3. Каждое пройденное ребро вычеркивается и ему присваивается номер на 1 больший номера предыдущего вычеркнутого ребра.

4. При нахождении в произвольной вершине x, не выбирается ребро, соединяющее x с v, если есть возможность другого выбора.

5. Ребро не проходится, если оно является перешейком. Перешейк – это ребро, при удалении которого, граф, образованный невычеркнутыми ребрами, распадается на две компоненты связности, каждая из которых имеет хотя бы одно ребро.

6. П осле того, как в графе будут занумерованы все ребра, образуется эйлеров цикл, нумерация рёбер которого соответствует последовательности обхода ребер.

Пример. Найти эйлеров цикл в эйлеровом графе

После выбора вершины v и прохождения рёбер 1 и 2 имеется три возможности: выбрать 3,6 или 7. Ребро 7 является перешейком, поэтому выбирается любое из оставшихся рёбер, например 3. Далее идёт обход оставшихся рёбер получается эйлеров цикл.