5.2. Полнота и замкнутость функций k-значной логики

Система  функций из ( ) называется (функционально) полной, если любая функция из может быть записана в виде формулы через функции этой системы.

Примерами полных систем является:

1. = .

2. = .

3. = .

4. = ,где .

Функция называется фуннцией Вебба представляет собой аналог функции Шеффера.

Пусть  – произвольное подмножество функции из . Замыканием  называется множество [] всех функций из , представленных в виде формул через функции множества `

Класс  называется (функционально) замкнутым, если замыкание []=.

Таким образом, в терминах замыкания можно определить полноту системы функций, а именно  является полной системой если замыкание []= .

Справедлива теорема о функциональной полноте - теорема Кузнецова А.В.:

Можно построить систему замкнутых классов в - ₁, ₂,…,_s, каждый из которых не содержит целиком ни одного из остальных классов и такую, что подсистема функций из полна тогда и только тогда, когда она целиком не содержится ни в одном из классов ₁, ₂,…,_s. Это аналог теоремы Поста.

Теорема Кузнецова доказывает, что возможно выразить, условие полноты системы  в терминах принадлежности ее к специальным классам ₁, ₂,…,_s, однако практическое построение классов даже при небольших k связано с трудоемкими вычислениями. Поэтому возникает вопрос о поиске других более эффективных критериев полноты. Эта цель достигается за счет введения ограничений , т.е. за счет знания дополнительной информации о системе .

Существенными называются функции из , если они существенно зависят не менее чем от двух переменных.

Теорема Яблонского

Пусть система  функций из , где k ³ 3, содержит все функции одной переменной, принимающие не более k-1 значений. Тогда для полноты системы  необходимо и достаточно, чтобы  содержало существенную функцию , принимающую все k значений.

Следствие (критерий Слупецкого):

Пусть система  функций из , где к ³ 3, содержит все функции одной переменной. Тогда для полноты системы  необходимо и достаточно, чтобы  содержало существенную функцию , принимающую все k значений.

Непосредственное использование теоремы и ее следствия не всегда удобно, так как для этого необходимо установить наличие в  всех функций одной переменной, принимающих не более k-1 значения, т.е. функций. С ростом k громоздкость вычислений возрастает. Поэтому это требование целесообразно заменить требованием, в котором система функций  порождало бы множество функций одной переменной.

Известно, что функции из  могут быть получены из конкретных систем функций одной переменной.

Теорема 1 (Пикара).

Все функции одной переменной из могут быть порождены тремя функциями:

1. ,

2. ,

3. .

Теорема 2

Все функции одной переменной из могут быть порождены k функциями

и функцией .

Теорема 3 (Мартина).

Функция из при к ³ 3 является функция Шеффера, тогда и только тогда, когда порождает все функции одной переменной принимающие не более k-1 значений.

5.3. Особенности k – значной логики

Во многом k – значная логика подобна двухзначной. В ней сохраняются многие результаты, имеющие место в двузначной логике. Однако ряд результатов, верных для функций алгебры логики, т.е. при k=2, уже не переносятся на случай, когда k ³3.

Например, как показал Пост, каждый замкнутый класс в P₂ имеет конечный базис и поэтому, число замкнутых классов в P₂ счетно. С другой стороны для k ³ 3 в :

а) существует замкнутый класс не имеющий базиса;

б) существует замкнутый класс имеющий счетный базис;

в) имеется бесчисленные множества различных замкнутых классов.