4.7. Табличный способ приведения к сднф

Используя таблицу истинности, можно составить СДНФ для ПФ. Для этого надо выполнить следующую последовательность шагов.

Шаг 1. Составить таблицу истинности данной ПФ.

Шаг 2. Рассмотреть те строки, в которых формула принимает истинностное значение 1. Каждой такой строке поставить в соответствие элементарную конъюнкцию, причем переменная, принимающая значение 1, входит в нее без отрицания, а 0 – с отрицанием.

Шаг 3. Образовать дизъюнкцию всех полученных элементарных конъюнкций, которая и составит СДНФ.

4.8. Табличный способ приведения к скнф

Используя таблицу истинности, можно составить СКНФ для ПФ. Для этого надо выполнить следующую последовательность шагов.

Шаг 1. Составить таблицу истинности данной ПФ.

Шаг 2. Рассмотреть те строки, в которых формула принимает истинностное значение 0. Каждой такой строке поставить в соответствие элементарную дизъюнкцию, причем переменная, принимающая значение 1, входит в нее с отрицанием, а 0 – без отрицания.

Шаг 3. Образовать конъюнкцию всех полученных элементарных дизъюнкций, которая и составит СКНФ.

Пример. Привести ПФ к совершенным нормальным формам. Для приведения к совершенным нормальным формам воспользуемся алгоритмами 4.7 и 4.8. Построим таблицу истинности и на ее основе составим СДНФ и СКНФ.

X	Y	Z		Элементарные конъюнкции	Элементарные дизъюнкции
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

СДНФ :

СКНФ :

( ) ( ) ( ) ( )

4.9. Логическое следствие

Формула X алгебры высказываний называется логическим следствием формул X₁, X₂, ..., X_n, если импликация X₁X₂ ... X_n  X является тавтологией. В этом случае говорят, что из X₁, X₂, ..., X_n следует X и этот факт записывают в виде

.

Рассуждения называются правильными, если из конъюнкции посылок следует заключение. Для определения правильности рассуждений по схеме требуется установить тождественную истинность формулы X₁, X₂, ..., X_n  X.

Распространенными схемами правильных рассуждений являются следующие:

– условно-категорический силлогизм;

– условно-категорический силлогизм;

– гипотетический силлогизм.

4.10. Алгоритм проверки правильности рассуждений

Проверка правильности рассуждений или проверка того, что данная формула X является логическим следствием формул X₁, X₂, ..., X_n осуществляется по следующему алгоритму.

Шаг 1. Образовать конъюнкцию посылок X₁, X₂, …, X_n.

Шаг 2. Составить импликацию X₁  X₂ ... X_n  X.

Шаг 3. Полученную формулу исследовать на тождественную истинность: если она является тождественно истинной, то X является логическим следствием формул X₁, X₂, ..., X_n, иначе – не является.

Пример. Если два числа равны, то, как известно, их модули равны. Данные числа не равны. Можно ли из этого заключить, что их модули не равны?

Рассмотрим следующие элементарные высказывания: X= «Два числа равны», Y= «Модули чисел равны». Тогда высказыванию «Если два числа равны, то, как известно, их модули равны» соответствует формула XY, высказыванию «Данные числа не равны» – , высказыванию «Модули чисел не равны» – . Заметим, что вопрос задачи сводится к проверке правильности рассуждений, то есть является ли логическим следствием посылок и X  Y:

.

Составив таблицу истинности формулы (XY)  , можно увидеть, что она не является тождественно истинной, следовательно, рассуждения не являются правильными, и утверждение «Модули чисел не равны» не верно.

С помощью СКНФ можно решить более общую задачу построения всех логических следствий из данных посылок.