4.2. Типы пф.

ПФ называется тождественно истинной, общезначимой или тавтологией, если она принимает значение 1 на всех наборах значений переменных. Для обозначения того, что ПФ F есть тавтология используют запись ├ F.

ПФ называется тождественно ложной или противоречием, если она принимает значение 0 на всех наборах значений переменных.

ПФ называется выполнимой (опровержимой), если на некоторых наборах значений переменных она принимает значение 1(0).

Пример. Определить тип ПФ . Для определения типа ПФ составим таблицу истинности

X	Y
0	0	1	1	0	0
0	1	1	0	1	0
1	0	0	1	1	0
1	1	0	0	1	0

Как видно из таблицы истинности, данная формула является тождественно ложной.

Отрицание тавтологии будет, очевидно, тождественно ложной формулой, а отрицание тождественно ложной формулы является тавтологией. Формула будет тавтологией, если формулы A и B равносильны.

С точки зрения логики тавтология, есть не что иное, как некоторый логический закон. Наиболее важными тавтологиями являются ( А, В, С – произвольные формулы ).

1. А А; - закон исключения третьего;

2. А  А;

3. А  (В  А);

4. (А  В)  ((А  В)  (А  С)); - цепное рассуждение;

5. (А  (В  С))  ((А  В)  (А  С));

6. (А  В)  А; (А  В)  В;

7. А  (В  (А  В));

8. А  (А  В); В  (А  В);

9. (В А)  ((В  А)  В);

10. ((А  В)  А)  А. - закон Пирса.

Каждую из этих тавтологий можно проверить, составив для неё таблицу истинности (Это нужно проделать самостоятельно).

4.3. Равносильность формул

Определение. Две формулы алгебры высказываний, зависящие от одинакового числа переменных, называются равносильными (эквивалентными), если они принимают одинаковые значения на одних и тех же наборах переменных. Равносильность формул обозначается знаком равенства.

Равносильность формул можно определить при помощи таблиц истинности или методом эквивалентных (равносильных) преобразований.

Для любых формул X, Y, Z справедливы следующие равносильности (законы алгебры высказываний), которые являются основными свойствами логических операций:

1. , (коммутативность);

2. , (ассоциативность);

3. , (дистрибутивность);

4. , (идемпотентность);

5. , (законыны поглощения);

6. (закон двойного отрицания);

7. , (законы де Моргана);

8. , , , , , (законы, определяющие действия с константами);

9. , (исключение импликации и эквиваленции);

10. (исключение дизъюнкции);

11. (исключение конъюнкции).

Понятия «равносильность» и «тавтология» связаны между собой. А именно, справедливо следующее:

Теорема. F₁=F₂ тогда и только тогда, когда F₁↔F₂ является тавтологией.

Справедливость этой теоремы вытекает непосредственно из определений равносильности и тавтологии.

Если формула F содержит подформулу F_i, то замена подформулы F_i в формуле F на эквивалент­ную ей формулу F_j не изменяет значения формулы F при любом наборе пропозициональных переменных. Если необходима подстановка в формулу F вместо формулы F_i новой формулы F_j, то эту операцию нужно выполнить всюду по символу F_i .

Правила замены и подстановки расширяют возможности эквива­лентных преобразований формул сложных высказываний.

Пример. Дано F=(X₁X₂) ((X₂X₃) (X₁X₂ X₃).

Выполним преобразования для упрощения алгебраического выражения.

1. Удалим всюду логическую связку :

F= ;

2. Приведем отрицание к переменным по закону де Моргана:

F=X₁ X₂   X₃;

3. Выполним преобразование по закону дистрибутивности:

F=( X₁ )  X₂   X₃;

4. Удалить член (X₁ ), так как (X₁ )=1:

F= X₂  X₃;

5. Выполним преобразование по закону дистрибутивности:

F= (X₂X₃)  (  X₃);

6. Удалим ( X₃ )=1:

F= (X₂X₃);

7) Применим закон ассоциативности:

F=( X₂)X₃;

8) Приравняем «истине» значение формулы X, т. к. ( X₂)=1:

F=1X₃=1.

Проблемой разрешимости для логики высказываний называют следующую проблему: существует ли такая процедура, которая позволяет для произвольной формулы в конечное число шагов определить, является ли она тавтологией.

Ясно, что данная проблема разрешима, поскольку всегда можно составить таблицу истинности для любой формулы.