Похідні основних елементарних функцій

, с = const

Правила диференціювання

Властивості похідної

1. Похідна суми (різниці) функцій U(x) і V(x):

2. Похідна добутку :

3. Похідна частки: ;

4. Сталу с можна виносити за знак похідної: ; с=const

Похідна складеної функції

Нехай y=f((x))-cкладена функція, тобто y=f(U), U=(x).Тоді

Тобто, похідна складеної функції по незалежній змінній х дорівнює добутку похідної від даної функції по проміжній змінній U на прохідну проміжної змінної по незалежній змінній.

21. Геометричний та механічний зміст похідної. Дотична і нормаль до графіка функції.

Геометричний зміст похідної. Значення похідної функції y=f(x) в точці х=х₀, тобто

Механічний зміст похідної. Похідна функції y=f(x) в точці х виражає швидкість зміни функції в точці х, тобто швидкість проходження процесу, що описується залежністю y=f(x).

Дотична і нормаль до графіка функції.

На малюнку показані дотична і нормаль до графіка функції y=f(x) в точці з координатою х=х₀.

 дотична,  нормаль,

Рівняння дотичної до графіка функції у точці для

Рівняння нормалі до графіка функції у точці для

; ( )

21. Диференціал функції. Застосування диференціала до наближених обчислень. Диференціали вищих порядків.

Диференціал функції – головна частина приросту функції.

Диференціали вищих порядків

Похідна 2-го порядку – це похідна від похідної 1-го порядку. Аналогічно диференціали.

21. Похідна наявної та параметричної функції. Правило Бернулі-Лопіталя.

Похідна функції, заданої наявно.Якщо функція y=f(x) задана рівнянням F(x,y)=0, не разв'язаним відносно у, то вона називається заданою неявно і її похідна знаходиться за формулою:

Похідна функції, заданої параметрично.Якщо функція y=f(x) задана параметричними рівняннями , тоді похідна визначається за формулою

Правило Бернулі-Лопіталя. Це правило стосується знаходження границь частки функцій, якщо границі мають невизначеності типу в особливих випадках для розкриття невизначеності 0; , звівши їх до невизначеностей .

25. Зростання і спадання функції. Екстремуми. Дослідження за допомогою похідної. Асимптоти графіків функцій.

Теорема 1. Якщо функція , диференційована в інтервалі (a;b), неспадна (незростаюча) на ньому, то її похідна в цьому інтервалі не від’ємна (не додатна), тобто ( ).

Теорема 2. Якщо функція , диференційована в інтервалі (a;b), задовольняє в ньому умові ( ), то ця функція зростає (спадає) в інтервалі (a;b).

Точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції , якщо ( ) для всіх х, які належать досить малому околу . Максимум і мінімум функції називається локальними екстремумами функції, а відповідні значення аргументу  (локальними) точками екстремуму функції.

Необхідна умова екстремуму: якщо функція в точці має екстремум, то похідна або дорівнює нулю, або не існує.

Точка , в якій виконується необхідна умова екстремуму, називається критичною точкою.

Достатні умови існування екстремуму в критичній точці:

1. якщо при переході через критичну точку похідна змінює знак, то  точка екстремуму; якщо знак змінюється з плюса на мінус, то  точка максимуму, а якщо змінюється з мінуса на плюс,  точка мінімуму;

2. якщо , то  точка максимуму функції ; якщо , то  точка мінімуму.

Асимптотою кривої називається пряма, до якої необмежено наближається точка, яка рухається по кривій, якщо принаймні одна з координат точки прямує до нескінченності. Іншими словами, пряма називається асимптотою графіка функції для , якщо різниця  нескінченно мала для .

Теорема. Якщо пряма  асимптота графіка функції для , то , .

Якщо , рівняння визначає похилу асимптоту.

Якщо , асимптота має рівняння і називається горизонтальною.

Пряма називається вертикальною асимптотою графіка функції , якщо хоча б одне з двох граничних значень , є нескінченими.

Крива (а>0), зображена на малюнку має горизонтальну асимптоту у=0 і вертикальну асимптоту х=а.