1. Представление информации в эвм

1.1. Общие положения

Современные ЭВМ предназначены для хранения и обработки различных видов информации: цифровой (числовой), символьной, графической и звуковой.

Основной формой представления информации является цифровая. Формы представления символьной, графической и звуковой информации являются вариантами цифровой формы представления. Указанные формы представления информации различаются способами обработки информации, включая способы сжатия при хранении и передаче.

1.2. Цифровая форма представления информации

Цифровая форма представления информации используется для сбора, хранения, передачи и обработки характеристик объектов и явлений, включая количественные. Основными аспектами обработки количественных характеристик информации в цифровой форме являются:

• выбор системы счисления,

• выбор способа представления отрицательных величин,

• выбор формы представления для обработки данных в максимальном диапазоне с минимальными потерями при округлениях.

• выбор алгоритмов операций обработки информации.

Все эти аспекты хорошо проработаны и еще до появления ЭВМ были получены эффективные решения почти всех указанных вопросов. Здесь идет речь о пересмотре и модификации этих решений с учетом особенностей обработки информации на основе современных электронных средств.

Кроме перечисленных аспектов цифровая обработка информации требует решения проблем проектирования и производства электронных средств обработки. Это вопросы разработки методов синтеза

• схем цифровой обработки данных,

• устройств управления схем цифровой обработки данных.

1.3. Системы счисления

1.3.1. Общие положения

Система счисления – это совокупность приемов и правил для записи чисел.

Система счисления должна обеспечивать возможность представления любого числа из заданного диапазона и простоту реализации заданного множества операций. При машинной обработке данных система счисления должна обеспечить и оптимальное отношение производительность/стоимость обработки данных.

Иногда от системы счисления требуют единственности представления числовых величин. Но в ЭВМ для организации контроля правильности выполнения операций или при структурировании данных часто используют избыточные коды, не удовлетворяющие этому требованию.

Непозиционные системы счисления

Наиболее простой системой счисления является система, в которой для обозначения одного предмета используется цифра в виде символа-палочки (единички), а для множества предметов – множество символов-палочек. Это система счисления "робинзонов". В вычислительной техники запись числа в этой системе называют унитарным кодом. В теоретической модели ЭВМ – "алгоритме (машине) Поста" в качестве рабочей системы счисления используют именно этот код. Причем машина Поста обладает функциональной полнотой, т.е. в ней можно задать любую процедуру числовой обработки. Унитарный код относится к классу непозиционных систем счисления. Значение числа в ней не зависит от позиций символов. Унитарный код в некоторых ЭВМ используется и для задания совокупности микроопераций, причем отдельные операции задаются единичными значениями в определенных позициях регистра микроопераций. Для использования в качестве основной системы счисления в ЭВМ унитарный код не подходит, т.к. не удовлетворяет требованию оптимальности соотношения производительность/стоимость.

Римская система счисления также относится к классу непозиционных систем счисления, но с исключениями. В отличие от унитарного кода, в ней для компактности записи и удобочитаемости используется множество символов: , V, X, L, С, и т.д., означающих, соответственно: 1, 5, 10, 50, 100 и т.д. Число 158 в римской системе обозначается как CLVIII. Исключением в римской системе счисления как непозиционной системе является правило расстановки символов по мере убывания их "значимости". Возможна перестановка позиций "соседних по значимости" символов, но при этом меняется обозначаемая ими величина. Например, сочетание символов XI – задает сумму значений символов (10+1=11), а сочетание символов IХ – их разность (-1+10=9).

Очевидно, что римская система счисления для выполнения арифметических операций мало пригодна.

Позиционные системы счисления

Другим классом систем счисления являются позиционные системы счисления. В этих системах счисления для записи (кодирования) количественных значений определяются множества символов (цифр), например: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Числовое значение записи в этой системе зависит не только от совокупности используемых цифр, но и от их взаимного расположения (разрядных позиций или просто разрядов).

Для позиционных систем счисления число символов, определенных для кодирования чисел, называется основанием системы счисления q.

Наименование позиционной системы счисления производится по значению основания системы счисления (десятичная – q=10, двоичная – q = 2).

Любое число N в позиционной системе счисления можно представить в виде сокращенной записи полинома (записываются только коэффициенты степеней основания):

Например, в десятичной системе счисление запись числа N = 134 соответствует сокращенной формой представления полинома:

Здесь и далее, при необходимости указания позиционной системы счисления, использованной при кодировании числа, основание системы счисления указывается в виде нижнего индекса в скобках – .

Если значение числа превышает значение основания системы счисления, то запись является многоразрядной. При этом каждый разряд имеет вес, равный соответствующей степени основания системы счисления. В десятичной системе счисления веса разрядов (начиная с младших разрядов) принимают значения единиц, десятков, сотен и т.д. Названия числовых величин соответствуют значению цифр и весам разрядов. Например, число 134 читается как одна сотня, три десятка и 4 единицы или сокращенно – сто тридцать четыре.

Все вышеизложенное применимо и для дробных и для смешанных чисел (неправильных дробей), при этом веса разрядов дробной части являются отрицательными степенями основания системы счисления. Для десятичной системы счисления – это десятые, сотые и т.д. доли единицы.

Выбор системы счисления для машинной обработки цифровых данных

Из известных систем счисления наиболее подходящими для машинной обработки цифровых данных являются позиционные системы счисления. Вопросом выбора является основание позиционной системы счисления.

Критерием выбора является простота оборудования для хранения и обработки данных.

Оценка простоты оборудования хранения данных

Объем (сложность) оборудования для хранения многоразрядных чисел определяется сложностью оборудования для одного разряда, умноженной на количество разрядов для заданного диапазона обрабатываемых чисел N.

Количество разрядов R определяется выражением . Если предположить, что сложность разрядного оборудования пропорциональна основанию системы счисления, то сложность оборудования G определяется выражением:

Эта функция имеет минимум при значении .

Таким образом, с точки зрения минимизации оборудования для хранения чисел, следует выбирать между значениями и . Если учесть, что вычислительная техника строится на электронных элементах, изначально имеющих двоичную природу работы (есть сигнал, нет сигнала), то предпочтение следует отдавать двоичной системе счисления.

Оценка простоты оборудования обработки данных

Сложность оборудования для обработки данных зависит от сложности правил обработки. Если рассматривать только арифметические операции, то сложность оборудования можно оценить по количеству строк правил арифметических операций: таблиц сложения, умножения и т.д. Эти правила должны быть аппаратно реализованы в исполнительных устройствах и устройствах управления.

Число строк таких таблиц арифметических операций пропорционально квадрату основания системы счисления. Таким образом, двоичная позиционная система счисления наилучшим образом подходит для компьютерной обработки данных с точки зрения простоты схем обработки числовой информации.