3 Вопрос

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Точка называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство: .

Точка называется точкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности .

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка называется точкой строгого локального максимума функции , если для всех из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство .

Точка называется точкой строгого локального минимума функции , если для всех из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство .

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

4 Вопрос

Стандартная форма задачи линейного программирования

Задача линейного программирования, представленная в форме:

a11x1 + a12x2 +… + a1nxn ≤ (≥) b1,

a21x1 + a22x2 +… + a2nxn ≤ (≥) b2,

… … … … … … … … … ... ...,

am1x1 + am2x2 +… + amnxn ≤ (≥) bm,

где: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,…,xn ≥ 0,

а линейная функция Z = c1x1 + c2x2 +… + cnxn→ mаx (min), называется

стандартной формой задачи линейного программирования.

Особенность данной формы состоит в том, что в ней система ограничений

состоит из одних неравенств, переменные решения являются

неотрицательными, а целевая функция может стремиться как к максимуму, так и к минимуму.

Каноническая форма задачи линейного программирования

Форма, в которой Z = c1x1 + c2x2 +… + cnxn→ mаx,

a11x1 + a12x2 +… + a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 +… + a2nxn = b2,

… … … … … … … … … ...,

am1x1 + am2x2 +… + amnxn = bm,

все переменные неотрицательные: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,…, xn ≥ 0, система

ограничений представляет собой систему уравнений, а целевая функция

стремится к максимуму, называется канонической формой задачи линейного

программирования.

Задача ЛП имеет каноническую форму, если все ограничения системы состоят только из уравнений (кроме неравенств, выражающих неотрицательность переменных) и целевую функцию необходимо минимизировать. Примером такой задачи ЛП в канонической форме является задача 1 – сбалансированная транспортная задача с системой ограничений (1) и целевой функцией (2). Однако в большинстве экономических задач чаще всего в систему ограничений первоначально входят не только уравнения, а и неравенства.

Утверждение. Любая общая задача ЛП может быть приведена к канонической форме. Приведение общей задачи ЛП к канонической форме достигается путем введения новых (их называют дополнительными) переменных. Система ограничений (3) этой задачи состоит из четырех неравенств. Введя дополнительные переменныеy₁ ≥  0, y₂ ≥  0, y₃ ≥  0, y₄ ≥  0, можно перейти к системе ограничен