Свойства пределов функции

Предел функции является в математическом анализе одним из основных понятий. Функция f(x) в точке х₀ предел имеет L. Если все значения х достаточно близки к х₀, то близко к L и значение f(x).

На бесконечности предел функции описывает поведение значения самой функции, когда аргумент ее становится бесконечно большим.

Предел функции обозначается в виде f(x) → L в случае, если х→а

К основным свойствам пределов функции относят:

• предел постоянной величины, который равен самой постоянной величины;

• предел суммы, который равен сумме пределов самих функций. Также по аналогии и предел разности функций равен разности пределов данных функций;

• предел суммы множества функций равен также сумме пределов таких функций. По аналогии рассчитывает и предел нескольких функций, который равен разности пределов данных функций;

• повышение предела произведения функции (постоянного коэффициента) на знак предела;

• произведению пределов функций равен предел произведения двух функций;

• расширенное свойство предела произведения, которое в том заключается, что предел произведения функций равен и произведению пределов данных функций;

• предел частного функций равен отношению пределов данных функций, но только в том случае, если предел знаменателя нулю не равен;

• предел функции степенной, где действительным числом является степень р;

• предел функции показательной, при которой основание b больше 0;

• предел функции логарифмической, в которой основание b больше 0;

• теорема «двух милиционеров», при которой «зажатой» остается функция f(x)между другими двумя функции, которые также стремятся к пределу А.

Все перечисленные свойства пределов позволяют исходный предел функции свести к уже известному, чтобы получить ответ.

Определение и свойства пределов

Число b называется пределом функции f(x) при x → a, если для любого ε > 0 сущестувует δ > 0 такое, что для любого x из δ-окрестности a (|x - a| < δ) выполняется |f(x) - f(a)| < ε.

Запись: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |x - a| < δ => |f(x) - f(a)| < ε