Свойства синуса
1. Область определения: вся числовая ось
2. Область значений: [-1;1]
3. Нечетная функция.
4. Наименьший положительный период: 2*pi
5. Координаты точек пересечения графика функции с осью Ох: (pi*n; 0)
6. Координаты точек пересечения графика функции с осью Оу: (0;0)
7. Промежутки, на которых функция положительна: (2*pi*n; pi+2*pi*n)
8. Промежутки, на которых функция отрицательна: (-pi + 2*pi*n; 2*pi*n)
9. Промежутки возрастания: [-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n]
10. Промежутки убывания: [pi/2 +2*pi*n; 3*pi/2 +2*pi*n]
11. Точки минимума: -pi/2 +2*pi*n
12. Минимум функции: -1
13. Точки максимума: pi/2 +2*pi*n
14. Максимум функции: 1
Свойства косинуса
1. Область определения: вся числовая ось
2. Область значений: [-1;1]
3. Четная функция.
4. Наименьший положительный период: 2*pi
5. Координаты точек пересечения графика функции с осью Ох: (pi/2 +pi*n; 0)
6. Координаты точек пересечения графика функции с осью Оу: (0;1)
7. Промежутки, на которых функция положительна: (-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n)
8. Промежутки, на которых функция отрицательна: (pi/2 +2*pi*n; 3*pi/2 +2*pi*n)
9. Промежутки возрастания: [-pi + 2*pi*n; 2*pi*n]
10. Промежутки убывания: [2*pi*n; pi+2*pi*n]
11. Точки минимума: pi+2*pi*n
12. Минимум функции: -1
13. Точки максимума: 2*pi*n
14. Максимум функции: 1
Свойства тангенса
1. Область определения: (-pi/2 +pi*n; pi/2 +pi*n)
2. Область значений: вся числовая ось
3. Нечетная функция.
4. Наименьший положительный период: pi
5. Координаты точек пересечения графика функции с осью Ох: (pi*n; 0)
6. Координаты точек пересечения графика функции с осью Оу: (0;0)
7. Промежутки, на которых функция положительна: (pi*n; pi/2 +pi*n)
8. Промежутки, на которых функция отрицательна: (-pi/2 +pi*n; pi*n)
9. Функция возрастает на промежутках (-pi/2 + pi*n; pi/2 + pi*n)
10. Точек максимума и минимума нет.
Свойства котангенса
1. Область определения: (pi*n; pi +pi*n)
2. Область значений: вся числовая ось
3. Нечетная функция.
4. Наименьший положительный период: pi
5. Координаты точек пересечения графика функции с осью Ох: (pi/2 + pi*n; 0)
6. Координаты точек пересечения графика функции с осью Оу: нет
7. Промежутки, на которых функция положительна: (pi*n; pi/2 +pi*n)
8. Промежутки, на которых функция отрицательна: (-pi/2 +pi*n; pi*n)
9. Функция убывает на промежутках (pi*n; pi +pi*n)
10. Точек максимума и минимума нет.
На рисунке ниже представлены несколько единичных окружностей, в которых указаны знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в различных координатных четвертях.
Производная степенной функции с произвольным показателем степени. Логарифмическое дифференцирование.
Прологарифмируем соотношение f(x) = xλ по натуральному основанию
ln f(x) = ln xλ = λ·ln x.
Продифференцируем правую и левую части этого равенства
.
Из этого равенства найдём
.
Откуда видно, что форма записи производной степенной функции остаётся прежней, что и для натурального показателя степени. Рассмотрим прием, который упрощает дифференцирование выражений. Часто приходится дифференцировать выражения, в которых действия умножения, деления, возведения в любую степень очень усложняют задачу. Рассмотрим логарифмическое дифференцирование на примере функции y = u(x)v(x), причём u(x) > 0 и u(x) и v(x) являются дифференцируемыми. Прологарифмируем правую и левую часть, тогда с учётом свойства логарифма получим
.
Воспользуемся правилами дифференцирования
,
откуда окончательно получим
