Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

   Определение. Последовательность { х_n} называется бесконечно большой, если для как угодно большого любого положительного числа А существует номер N, зависящий от этого числа А, такой, что для всех последующих номеров n > N выполняется неравенство | x_n | > A:

   Замечание. Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, …, 1, n + 1, … не является бесконечно большой, поскольку при A > 1 неравенство | x_n| > A выполняется не для всех элементов x_n с нечетными номерами.    Определение. Последовательность {α_n} называется бесконечно малой, если для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, зависящий от этого ε, такой, что для любых n > N выполняется неравенство |α_n| < ε:

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями

   Теорема 1. Если { х_n} — бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность

бесконечно малая, и, обратно, если {α_n} — бесконечно малая последовательность и все её члены отличны от нуля {α_n} ≠ 0, то последовательность { 1 / α_n } – бесконечно большая.   Доказательство. Пусть { х_n} — бесконечно большая последовательность. Возьмем любое как угодно малое положительное число ε > 0 и положим

Согласно определению для этого существует такой номер N , что при n > N будет | x_n | > A. Отсюда получаем, что

для всех n > N. А это значит, что последовательность

бесконечно малая.

Оновные свойства бесконечно малых последовательностей

   Теорема.Сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.   Доказательство. Пусть {α_n} и {β_n} — бесконечно малые последовательности. Требуется доказать, что последовательность α_n ± β_n тоже бесконечно малая. Пусть ε – произвольное как угодно малое положительное число, N₁ – номер, начиная с которого выполняется неравенство

,

N₂ - номер, начиная с которого выполняется неравенство

.

(Такие номера N₁ и N₂ найдутся по определению бесконечно малой последовательности.) Возьмем

N = max {N₁, N₂},

тогда при n > N будут одновременно выполняться два неравенства:

и

Следовательно, при n > N имеем

Это значит, что последовательность

α_n ± β_n

бесконечно малая.   Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.   Теорема 3. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.   Доказательство. Пусть {α_n} и {β_n} — бесконечно малые последовательности. Требуется доказать, что последовательность {α_n·β_n} тоже является бесконечно малой. Так как последовательность {α_n} бесконечно малая, то для любого как угодно малого положительного числа ε> 0 существует номер N₁, зависящий от ε, такой, что для всех последующих номеров n > N₁ ,будет выполнено неравенство

а так как {β_n) – также бесконечно малая последовательность, то для любого как угодно малого положительного числа ε> 0 существует номер N₂, зависящий от ε, такой, что для всех последующих номеров n > N₂ ,будет выполнено неравенство

Возьмём N = max{N₁, N₂}, тогда при n > N будут одновременно выполняться оба неравенства. Следовательно,

Это означает, что последовательность {α_n·β_n} бесконечно малая.   Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.    Теорема 4.Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.   Доказательство. Пусть {x_n} – ограниченная, а {α_n} – бесконечно малая последовательности. Требуется доказать, что последовательность{x_n·α_n} бесконечно малая. Так как последовательность {x_n} ограничена, то существует число А > 0 такое, что любой элемент числовой последовательности {x_n} удовлетворяет неравенству | x_n| ≤ A. Возьмем любое как угодно малое положительное число ε > 0. Поскольку последовательность {α_n} бесконечно малая, то для любого как угодно малого положительного числа ε/ A существует номер N такой, что при всех n > N выполняется неравенство

 

Следовательно, при n > N имеем

Это означает, что последовательность {x_n·α_n} является бесконечно малой числовой последовательностью.   Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.

Непрерывность и точки разрыва функции

 

 Функция у = f (х) называется непрерывной в точке х₀, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента х-х₀= х соответствует бесконечно малое приращение функции

 у—у₀ = у, т. е. если

lim y = lim [ f (х₀ + х) – f (х₀)] = 0.

Этому определению равносильно следующее:

Функция f (х) называется непрерывной в точке х₀, если при х—> х₀ предел функции существует и равен ее частному значе­нию в этой точке, т. е. если lim f(х) = f (x₀).

 x->х₀

 

Для непрерывности функции f(х) в точке х₀ необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1)функция должна быть определена в некотором интервале, содержащем точку х_0.(т. е. в самой точке х₀ и вблизи этой точки);

2) функция должна иметь одинаковые односторонние пределы

 lim f (х) = lim f (x);

 x->х₀ -0  x->х₀ +0   

3) эти односторонние пределы должны быть равны f (x₀).

Функция f (x) называется разрывной в точке х₀, если она опре­делена в сколь угодно близких точках, но в самой точке х₀ не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.

Разрыв функции f(х) в точке х₀ называется конечным, или 1-го рода, если существуют конечные односторонние пределы

 lim f(x) и lim f(х).

 x-> х₀ -0 x-> х₀ +0

 Все другие случаи разрыва функции называются разрывами- 2-го-рода; в частности, если хотя бы один из указанных односторонних пределов окажется бесконечным, то и разрыв функции называется бесконечным.

Скачком функции f(х) в точке разрыва х₀ называется раз­ность ее односторонних пределов lim f(x) и lim f(х) если они различны.

 x-> х₀ -0  x-> х₀ +0 

Если точка х₀ является левой или правой границей области определения функции f(х), то следует рассматривать значения функции соответственно только справа или только слева от этой точки и в самой точке. При этом:

1) если граничная точка х₀ входит в область определения функции, то она будет точкой непрерывности или точкой раз­рыва функции, смотря по тому, будет ли предел функции при х —>х₀ изнутри ее области определения равен или не равен f(х₀);

2) если граничная точка х₀ не входит в область определения функции, то она является точкой разрыва функции.

Функция называется непрерывной в некотором интервале, если она непрерывна во всех точках этого интервала.

Все элементарные функции непрерывны в тех интервалах, в которых они определены.

При отыскании точек разрыва функции можно руководство­ваться следующими положениями:

1. Элементарная функция может иметь разрыв только в от­дельных точках, но не может быть разрывной во всех точках какого-либо интервала.

2. Элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, где она не определена, при условии, если она будет оп­ределена хотя бы с одной стороны от этой точки в сколь угодно близких к ней точках.

3. Неэлементарная функция может иметь разрывы как в точ­ках, где она не определена, так и в точках, где она определена; в частности, если функция задана несколькими различными ана­литическими выражениями (формулами) для различных интер­валов изменения аргумента, то она может иметь разрывы в тех точках, где меняется ее аналитическое выражение.

Пример 1.

 

  Показать, что элементарная функция у = 2х²— 1непрерывна во всей своей области определения.

Решение.

 Найдем область определения функции и затем убедимся, исходя из определения непрерывности, что функция будет непрерывна в этой же области.

Областью определения функции у является вся числовая ось. Далее, придадим аргументу х произвольное приращение x: и, подставив в данное выражение функции вместо х наращенное значение х + х, найдем наращенное значение функции:

    

Вычитая из этого наращенного значения функции ее первона­чальное значение, найдем приращение функции:

 

Следовательно, согласно определению непрерывности, функ­ция y будет непрерывна при любом значении х, т. е. во всей своей области определения.