Производная показательной функции

   Воспользуемся логарифмическим дифференцированием и получим производную показательной функции f (x) = a^x. В соответствии с применяемым правилом, прологарифмируем правую и левую части по натуральному основанию

ln f(x) = ln a^x = x·ln a,

дифференцируя правую и левую части этого равенства, получим

,

откуда найдём

f '(x) = a^x·ln a,

В частном случае a = e производная показательной функции имеет более простой вид

.

Производные обратных тригонометрических функций

   Пусть f (x) = arctg x. По теореме о производной обратной функции имеем

.

   Пусть y = arcsin x. По теореме о производной обратной функции имеем

.

Примеры вычисления производных

Пример 1. Вычислить производную функции

.

Решение.

.

   Пример 2. Вычислить производную функции y = e^{arctg x}.    Решение. Данную функцию можно представить в виде y = e^u, где u = arctg x. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции имеем

.

Заменяя u на arctg x, окончательно получим

.

   Пример 3. Вычислить производную функции

.

Решение. Данную функцию можно представить в виде y = u², где u = tg v, v = √ω, ω = x² + 1.    Используя правило вычисления производной сложной функции, получаем

Таблица производных простейших элементарных функций

1. (C)' = 0,

2. (x ^α) ' = α·x ^α-1 , в частности , ( ,

3. , в частности, ,

4. , в частности, (e^x)' = e^x,

5. (sin x)' = cos x,

6. (cos x)' = − sin x,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. .

   Формулы, приведенные в таблице, а также правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и правило дифференцирования сложной функции являются основными формулами дифференциального исчисления.    На основе правил и формул дифференцирования можно сделать важный вывод: производная любой элементарной функции также элементарная функция. Таким образом, операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций.

Элементарные функции и их свойства Некоторые определения. Схема исследования

Функцией (или функциональной зависимостью) называется закон, по которому каждому значению независимой переменной x из некоторого множества чисел, называемого областью определения функции, ставится в соответствие одно вполне определенное значение величины y. Совокупность значений, которые принимает зависимая переменная y, называется областью значений функции.

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (x;y), такими, что абсцисса x принимает все значения из области определения, а ордината y равна значению функции в точке x.

Функция f(x) называется четной, если для любого x из ее области определения, -x также принадлежит области определения, причем, f(-x)=f(x). Функция f(x) называется нечетной, если для любого x из ее области определения, -x также принадлежит области определения, причем, f(-x)=f(x).

Функция f(x) называется периодической с периодом T 0, если для любого x, принадлежащего области определения функции, x - T, x + T также принадлежат области определения и ее значения в точках x, x - T, x + T равны.

Функция f(x) возрастает на некотором интервале, если для любых значений x₁ и x₂, принадлежащих этому интервалу, таких что x₂ > x₁, выполнено неравенство f(x₂) > f(x₁).

Функция f(x) убывает на некотором интервале, если для любых значений x₁ и x₂, принадлежащих этому интервалу, таких что x₂ > x₁, выполнено неравенство f(x₂) < f(x₁).

Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если для всех значений x из некоторой окрестности x₀ выполнено неравенство b R.

Точка x₀ называется точкой максимума функции f(x), если для всех значений x из некоторой окрестности x₀ выполнено неравенство f(x)  f(x₀).

При описании функции y = f(x) принято указывать:

1. Область определения D(x) и область значений E(y) функции.

2. Является ли функция периодической.

3. Является ли функция четной или нечетной.

4. Точки пересечения графика с осями координат.

5. Промежутки знакопостоянства функции.

6. Интервалы возрастания и убывания.

7. Точки экстремума и экстремальные значения.

8. Наличие асимптот.

9. График.

Возвратная последовательность, рекуррентная последовательность, последовательность a₀, a₁, a₂,..., удовлетворяющая соотношению вида

  а_п+р + с₁а_п+р-1+... + с_ра_п = 0,

  где с₁,..., c_p — постоянные. Это соотношение позволяет вычислить один за другим члены последовательности, если известны первые р членов. Классическим примером В. п. является последовательность Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8,...(a₀ = 1, a₁ = 1,..., a_n+2 = a_n+1 + a_n). Возникновение термина «В. п.» связано с именем А. Муавра, который рассмотрел под названием возвратных рядов степенные ряды a₀ + a₁x + a₂x² +... с коэффициентами, образующими В. п. Такие ряды изображают всегда рациональные функции.