4.2Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.

Запишем квадратурное правило для равноотстоящих узлов в виде

, (6)

где .

При заданных значениях n коэффициенты принимаю следующие значения:

n=0, ;

n=1, ;

n=2, , ;

n=3, , и т.д.

Замечание: предпочтительно использовать формулы Ньютона-Котеса с малыми значениями n, а для уменьшения погрешности результата отрезок разбивается на достаточно большое число интервалов, и к каждому из них применяют квадратурную формулу с малым числом узлов, затем результаты складывают.

4.2.1Формула прямоугольников

Пусть функция f(x) на [a,b] заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа нулевого порядка, построенным по значению в средней точке отрезка[a,b], т.е. и . Тогда

и , где xÎ[a,b]. (7)

Разделим [a,b] на m равных частей длины . К каждому частичному отрезку [a+ih,a+(i+1)h] применим формулу прямоугольников, сложив результаты, получим обобщенную формулу прямоугольников

. (8)

4.2.2Формула трапеций

Пусть функция f(x) на [a,b] заменяется интерполяционным многочленом первого порядка, построенным по значениям в точках а и b. Тогда

и , где xÎ[a,b]. (9)

Разделим [a,b] на m равных частей длины . К каждому частичному отрезку [a+ih,a+(i+1)h] применим формулу трапеций, сложив результаты и обозначив , получим обобщенную формулу трапеций

. (10)

4.2.3Формула Симпсона (формула парабол)

Пусть функция f(x) на [a,b] заменяется интерполяционным многочленом второго порядка, построенным по значениям в точках а, и b. Тогда

и , (11)

где xÎ[a,b].

Разделим [a,b] на четное число m равных частей длины . К каждому частичному отрезку [a+(i-1)h,a+(i+1)h] применим формулу Симпсона, сложив результаты и обозначив , получим обобщенную формулу Симпсона

. (12)

4.3Квадратурная формула Гаусса

Пусть функция y=f(x) задана на промежутке [-1,1]. Нужно подобрать узлы квадратурного правила и коэффициенты так, чтобы квадратурная формула

(13)

была точной для всех полиномов f(x) наивысшей степени m=2n-1, т.к. имеем 2m неизвестных , а полином степени 2n-1 определяется 2n коэффициентами. Остаточный член обращается в нуль, когда , где С_i=const, i=0,¼,m. Тогда

Учитывая соотношение: , получаем систему 2n уравнений относительно :

(14)

Система (14) нелинейная, и её исследование громоздко. Поэтому воспользуемся теоремой:

для того чтобы квадратурная формула (13) интерполяционного типа была точна для всех многочленов степени не выше 2n-1, необходимо и достаточно, чтобы ее узлы x_j ,были корнями многочлена w_n(x), ортогонального на [-1;1] к любому многочлену степени не выше n.

Ортогональную систему многочленов, имеющих n различных действительных корней на [-1;1], образуют многочлены Лежандра

(15)

Итак, в квадратурной формуле с n узлами, имеющей наивысшую степень точности 2n-1, узлы x_j,j=1,...,n являются корнями многочлена Лежандра n-ой степени, а из системы (14), зная x_j легко найдем А_j.

Для произвольного интервала[a,b] сделаем замену . В этом случае формула Гаусса примет вид

. (16)

Таблица узлов и коэффициентов формулы Гаусса

n	xj	Aj
n=1	x1=0	A1=2
n=2	x1=-0,577350269 x2=0,577350269	A1=1 A2=1
n=3	x1=-0,774596669 x2=0 x3=0, 774596669	A1=0,555555556 A2=0,888888889 A3=0,555555556
n=4	x1=-0,861136312 x2=-0,339981044 x3=0,339981044 x4=0,861136312	A1=0,347854845 A2=0,652145155 A3=0, 652145155 A4=0,347854845
n=5	x1=-0,906179846 x2=-0,538469319 x3=0 x4=0,538469319 x5=0,906179846	A1=0,236926885 A2=0,478628670 A3=0,568888889 A4=0,478628670 A5=0,236926885
n=6	x1=-0,932469514 x2=-0,661209386 x3=-0,238619186 x4=0,238619186 x5=0,661209386 x6=0,932469514	A1=0,171324492 A2=0,360761573 A3=0,467913934 A4=0,467913934 A5=0,360761573 A6=0,171324492
n=7	x1=-0,949107912 x2=-0,741531185 x3=-0,405845151 x4=0 x5=0,405845151 x6=0,741531185 x7=0,949107912	A1=0,129484966 A2=0,279705391 A3=0,381830051 A4=0,417959184 A5=0,381830051 A6=0,279705391 A7=0,129484966