5.3Вычисление всех собственных значений положительно определенной симметрической матрицы
Собственные
значения такой матрицы вещественные
и положительные, а собственные векторы
выбираются таким образом, чтобы
выполнялось условие ортогональности:
,
,
,
.
Система
для определения собственного вектора
,
соответствующего собственному значению
имеет вид:
(5.12)
В
связи с тем, что собственный вектор
определяется с точностью до числового
множителя, предположим, что одна из
компонент собственного вектора равна
1, т.е.
.
В итоге получаем систему нелинейных
алгебраических уравнений с n
неизвестными
,
которую можно решать методом итерации:
(5.13)
Начальное
приближение для системы (5.13) выбирается
произвольно. Если метод итерации для
системы (5.13) сходится, то для достаточно
больших значений k
можно приближенно положить
,
.
Для
определения
и
воспользуемся двумя соотношениями:
и
условием ортогональности векторов
и
:
(5.14)
где
.
Учитывая,
что
определяется с точностью до числового
множителя, положим
.
Исключив из (5.14) уравнение для определения
и получим систему из (n-1)
– го нелинейного алгебраического
уравнения для определения неизвестных
.
Задавая произвольно начальное
приближения, и решая систему методом
итерации, получим:
(5.15)
Для контроля правильности вычисления можно воспользоваться уравнением:
.
Для
определения
и
воспользуемся тремя соотношениями:
и
условиями ортогональности векторов
и
,
а также векторов
и
.
Далее процесс аналогичен процессу
нахождения
и
и т.д.
Замечание: последующие собственные значения и векторы вычисляются с меньшей точностью, чем предыдущие.
Задачи контрольной работы по теме №5
Методом Данилевского найти собственные значения и собственные векторы матрицы:
Вариант |
Исходная матрица |
Вариант |
Исходная матрица |
1. |
|
2. |
|
3.
|
|
4. |
|
5.
|
|
6. |
|
Вариант |
Исходная матрица |
Вариант |
Исходная матрица |
7.
|
|
8. |
|
9.
|
|
10. |
|
Найти собственные значения и соответствующие им собственные векторы матрицы методом Крылова и методом, вычисляющим все собственные значения и векторы симметрической положительно определенной матрицы.
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
