5.1Метод Данилевского

Суть метода в приведении векового определителя к нормальному виду Фробениуса:

. (5.4)

Разложив определитель (5.4) по первой строке будем иметь:

. (5.5)

Известно, что преобразование подобия не изменяет характеристического многочлена матрицы А. Поэтому, удачно подобрав преобразование подобия, можно получить матрицу, собственный многочлен которой может быть выписан по ее виду.

Рассмотрим модификацию метода Данилевского удобную для численной реализации. Пусть задана матрица

(5.6)

с помощью преобразований подобия матрица (5.6) приводится к матрице имеющей нормальную форму Фробениуса:

(5.7)

Процесс приведения к нормальной форме Фробениуса:

I. Матрица А умножается справа на матрицу С₁, а слева на :

, (5.7)

В результате получаем матрицу , у которой (n-1) – й столбец имеет нужный нам вид.

II. На втором шаге матрица умножается справа на матрицу С₂, а слева на :

, (5.7)

В результате получаем матрицу , у которой (n-1) – й и (n-2) – й столбцы имеют тот же вид, что и соответствующие столбцы матрицы Фробениуса.

Продолжая этот процесс, после (n-1) – го шага получим матрицу , имеющую нормальную форму Фробениуса. Здесь предполагается, что , отличны от нуля.

Собственный многочлен матрицы имеет вид:

, (5.8)

Корни многочлена (5.8) являются собственными значениями исходной матрицы А.

Если , а - собственный вектор матрицы , то собственный вектор матрицы А определяется соотношением , т.е. для определения компонент собственного вектора имеем:

(5.9)

Т.к. собственный вектор определяется с точностью до числового множителя, то можно считать, что . Таким образом решая систему (5.9) будем иметь:

(5.10)

5.2Метод Крылова

Суть метода заключается в построении алгебраического образа. По виду которого можно было бы сразу записать собственный многочлен вещественной матрицы А.

Возьмем произвольный вектор , согласованный по размерности с матрицей А, и по этому вектору будем составлять последовательность векторов , , … до тех пор пока не встретится такой вектор , т.е. вектор являющийся линейной комбинацией предыдущих линейно независимых векторов.

Для определения номера m составляют максимально возможную линейную комбинацию, т.е. полагают m=n:

(5.11)

Здесь , при - координаты вектора , . В результате для определения имеем систему n – линейных алгебраических уравнений.

Для случая линейной независимости векторов , ¼, полученную систему решают методом Гаусса. В том случае, когда линейно независимы только m первых векторов, находят m коэффициентов системы .

Зная все значения коэффициентов можно записать собственный многочлен матрицы А: . Решив уравнение , найдем все собственные значения матрицы А.

В том случае, когда найдены только m коэффициентов системы, можно записать многочлен , который является делителем собственного многочлена матрицы А. Решив уравнение: , найдем часть собственных значений матрицы А. Изменяя исходный вектор и проделав все вычисления заново, находим все оставшиеся собственные значения.

Собственный вектор соответствующий собственному значению ищется в виде линейной комбинации линейно-независимых векторов :

,

где коэффициенты ; , ¼, .-