4.4Метод Монте-Карло

Методы решения задач, использующие случайные величины, называются методами Монте-Карло.

Пусть методом Монте-Карло требуется вычислить m - кратный интеграл

, (17)

где функция f(x₁,...,x_m) задана в ограниченной замкнутой области S, а эта область заключена в m - мерном параллелепипеде . Для преобразования m - мерного параллелепипеда в m - мерный единичный куб сделаем замену переменных следующего вида: , при этом 0£x_j£1. Якобиан этого преобразования

Тогда интеграл (17) перепишется в виде

, (18)

где , s - новая область интегрирования, лежащая внутри m - мерного единичного куба.

Выберем m равномерно распределенных на [0,1] последовательностей случайных чисел ; ¼, . Точки можно рассматривать как случайные точки из m - мерного единичного куба. Будем считать, что n - случайных точек принадлежат области s, а (N-n) точек не принадлежат ей.

Если взять достаточно большое число n точек из области s, то приближенно можно считать

, (19)

тогда выражение (18) можно переписать в виде

, (20)

здесь s - объем области интегрирования. Если вычисление объема затруднительно, то можно считать, что , тогда

. (21)

Задачи контрольной работы по теме №4

1. Вычислить определенный интеграл при n=24 по соответствующей квадратурной формуле:

№ п/п	Прямоугольников	Трапеций	Симпсона
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

№ п/п	Прямоугольников	Трапеций	Симпсона
8.
9.
10.

II. Вычислить интеграл из задания I методом трапеций и определить относительную погрешность символьно в пакете Maxima

III. Вычислить численно интеграл из задания 1 при помощи встроенных в Maxima функций.

5.Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц.

Определение. Вековым определителем матрицы называется определитель вида:

.

Определение. Собственным значением квадратной матрицы А называется такое число l, для которого выполняется соотношение:

, (5.1)

если - некоторый не нулевой вектор, называемый собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению l.

Соотношение (1) можно переписать в виде:

, (5.2)

Условием существования ненулевого решения однородной системы (5.2) является требование:

, (5.3)

Это уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А.

Все методы нахождения собственных значений и соответствующим им собственных векторов можно разделить на два класса: точные и итерационные.

К точным методам относятся те, что сначала строят собственный многочлен матрицы, а затем, находя его корни, получают собственные значения. По найденным собственным значениям находят соответствующие им собственные вектора, не прибегая к решению однородных систем линейных алгебраических уравнений.

К итерационным методам относятся те методы, в которых собственные значения матрицы определяются без обращения к собственному многочлену, при этом обычно одновременно вычисляются и соответствующие им собственные векторы. Вычислительные схемы таких методов носят итерационных характер.

При решении данных задач необходимо знать, что все собственные значения лежит в интервале, определяемом нормой исходной матрицы:

,

где - норма матрицы А, которая может быть посчитана двумя способами:

1. евклидова норма

2. сумма максимума модулей по строкам

Для проверки правильности решения полной проблемы собственных значений можно использовать следующие два равенства:

, .