5.2 Тема №2

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Задание 2.1.7. Даны уравнения двух прямых , и координаты точки Требуется найти:

1. уравнение прямой, проходящей через точку и точку пересечения данных прямых;

2. расстояние между точкой пересечения двух прямых и точкой ;

3. угол между прямыми и ;

4. уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой ;

5. уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой ;

6. расстояние от точки до прямой .

7. выполнить чертеж.

Выбрать оптимальные пути решения в пунктах б), в), г), д), е).

Решение:

а) Найдём точку пересечения прямых , :

О(2;-1) – точка пересечения прямых , :

Из формулы определяем уравнения стороны ОМ:

б) Расстояние между точкой пересечения двух прямых и точкой :

3. угол между прямыми и ;

3. уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой ;

У параллельных прямых угловые коэффициенты равны, значит .

Тогда по формуле находим:

3. уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой ;

Условием перпендикулярности прямых выражается соотношением

k₁k₂= -1, откуда k₁ = -1/k₂ = -1/5

Тогда по формуле находим:

3. расстояние от точки до прямой .

Расстояние d от заданной точки М(х₀; у₀) до заданной прямой с уравнением

Ax + By + С = 0 найдём по формуле:

Подставив вместо х₀; у₀ координаты точки , а вместо А, В, С коэффициенты уравнения прямой , получаем

3. Выполним чертеж.

Задание 2.2.7. Даны координаты вершин пирамиды

Найти:

1. длину ребра ;

2. угол между ребрами и ;

3. угол между ребрами и гранью ;

4. площадь грани ;

5. объем пирамиды;

6. уравнение плоскости ;

7. уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .

8. сделать чертеж.

Выбрать оптимальные пути решения в пунктах б), в), г), д).

Решение:

1) Длина ребра А₁А₂ равна:

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄ равен:

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃ найдем по формуле:

Составляем уравнение плоскости А₁А₂А₃:

;

;

4)

Площадь грани А₁А₂А₃:

5) Объем пирамиды:

(куб. ед.)

6) Уравнение плоскости найдено в п.3:

7) Направляющий вектор высоты, опущенной из вершины А₄ на грань A₁А₂А₃ равен нормальному вектору плоскости A₁А₂А₃, и равен: . Зная координаты этого вектора и координаты точки А₄, находим уравнение высоты:

Делаем чертеж.

Контрольная работа № 2

5.3 Тема №3

Пределы и непрерывность функций

Задание 3.1.7. Вычислить пределы функций.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Решение:

Задание 3.2.7. Исследовать функции на непрерывность: найти точки разрыва, указать характер разрыва. Сделать схематический чертёж.

1. 

2. 

3. 

Решение:

Область определения:

Исследуем на непрерывность точку x = -6.

Найдем пределы слева и справа:

x = -6 – точка разрыва второго рода.

Выполним построение:

1) Область определения:

Исследуем на непрерывность точку x = 6.

Найдем пределы слева и справа:

x =6– точка разрыва второго рода.

Выполним построение:

Функция непрерывна на каждом из интервалов (− ∞; 1) , (1;2) , (2; +∞ ). Исследуем на непрерывность точки x = 1 и x = 2.

Пусть x = 1 . Найдем пределы слева и справа:

Пределы слева и справа конечны и равны, поэтому в точке x = 1 функция не терпит разрыв.

Пусть x = 1 . Найдем пределы слева и справа:

Пределы слева и справа конечны, но не равны, поэтому в точке x = 2 функция терпит разрыв первого рода («скачок»).

Выполним построение: