23. Асимптомы к графику функции. Примеры.
Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.
Определение 7.1 Вертикальной
асимптотой графика функции 
называется
вертикальная прямая 
,
если 
или 
при
каком-либо из условий: 
, 
, 
.
Заметим, что мы при этом не требуем,
чтобы точка 
принадлежала
области определения функции 
,
однако она должна быть определена по
крайней мере в какой-либо из односторонних
окрестностей этой точки: 
или 
,
где 
.
Пример 7.1
Рассмотрим функцию 
.
График
имеет
вертикальную асимптоту 
,
поскольку при 
выполняется
условие 
,
а также при 
выполняется
условие 
.
Рис..Вертикальная
асимптота функции 
24. Дифференциал функции одной переменной и его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Пусть функция задана на промежутке и пусть точка , а число такое, что новая точка . Приращением функции в точке называется разность значений функции в точках и , то есть |
. |
При этом число называется приращением аргумента |
Определение 2 |
Пусть функция задана на промежутке и пусть точка , а число такое, что точка . |
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует и конечен. |
Для производной используются обозначения , или просто . Итак:
|
или, учитывая определение 1,
|
Геометрический смысл производной |
||
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой . |
||
Доказательство. |
||
Пусть - непрерывная на промежутке функция. В точке проведем невертикальную касательную . Через точки и проведем секущую (рис.1). Обозначим через угол, который секущая составляет с осью , а через - угол между осью и касательной . Из рисунка 1 ясно, что для угла , равного углу в прямоугольном треугольнике , выполнено равенство: . При точка , двигаясь по оси стремится к точке , а точка , двигаясь по графику функции , в силу непрерывности стремится к точке . Тогда прямая при займет положение касательной . Поэтому , где - угловой коэффициент касательной. Таким образом, доказано, что . |