32. Несобственные интегралы 1-го рода. Примеры

В дальнейшем мы будем обычно иметь дело с несобственными интегралами от неотрицательных функций. Если функция  неотрицательна на луче  , то функция   возрастает на этом луче. Поэтому она имеет предел при   в том и только в том случае, когда ограничена. Отсюда получаем следующее утверждение:

а) Для сходимости несобственного интеграла   от неотрицательной функции    , необходимо и достаточно, чтобы функция   была ограничена, т. е. чтобы нашлось такое число  , что   для всех  .

Непосредственно найти такое число   бывает довольно сложно, поэтому во многих случаях оказывается полезным следующее утверждение:

б) Если на луче   выполняется неравенство   и интеграл   сходится, то сходится и интеграл  .

В самом деле, из   следует, что для любого   имеем:

Но функция   возрастает, и потому ее предел при   не меньше любого из ее значений:  . Поэтому для всех   имеем:  , где  . А тогда на основании предыдущего утверждения интеграл   сходится.

Из доказанного вытекает, что если   при   и интеграл   расходится, то расходится и интеграл   — в противном случае в соответствии с утверждением б) интеграл   сходился бы.

Пример 5. Исследуем на сходимость интеграл  .

Решение. Мы имеем   при  . Но интеграл   сходится (см. пример 4). Поэтому сходится и исходный интеграл.

Пример 6. Исследуем на сходимость интеграл  .

Решение. Так как   при  , а интеграл   расходится (см. пример 4 при  ), то расходится и заданный интеграл.

33. Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Примеры

Для определенного интеграла справедливы все типы замен, что и для неопределенного интеграла. Таким образом, если с заменами у Вас не очень, следует внимательно ознакомиться с уроком Метод замены в неопределенном интеграле.

В этом параграфе нет ничего страшного или сложного. Единственная новизна состоит в вопросе, как поменять пределы интегрирования при замене.

В примерах я постараюсь привести такие типы замен, которые еще нигде не встречались на сайте.

Пример 5

Вычислить определенный интеграл

Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в таблицу интегралов и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм:   . Но есть одна неувязочка, в табличном интеграле под корнем  , а в нашем – «икс» в четвёртой степени. Из рассуждений следует и идея замены – неплохо бы нашу четвертую степень как-нибудь превратить в квадрат. Это реально.

Сначала готовим наш интеграл к замене:

Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена:  Таким образом, в знаменателе будет всё хорошо:  . Выясняем, во что превратится оставшаяся часть   подынтегрального выражения, для этого находим дифференциал  :

 

По сравнению с заменой в неопределенном интеграле у нас добавляется дополнительный этап.