27. Первообразная функция и неопределенный интерграл. Свойства неопределенного интеграла

Определение первообразной.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство   для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство  . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается  .

Выражение   называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называетсянеопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

1. Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

2. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

3. , где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4. Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.

Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:

Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.

Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:

• первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;

• второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найти первообразную функции  , значение которой равно единице при х = 1.

Решение.

Мы знаем из дифференциального исчисления, что  (достаточно заглянуть в таблицу производных основных элементарных функций). Таким образом,  . По второму свойству  . То есть, имеем множество первообразных  . При х = 1 получим значение  . По условию, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1. Искомая первообразная примет вид  .

Свойства неопределённого интеграла

        Свойство 1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, то есть если         , то 

        Свойство 2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению 

        Свойство 3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной константы 

        Свойство 4. Неопределённый интеграл от суммы функций равен сумме неопределённых интегралов 

        Свойство 5. Неопределённый интеграл от разности функций равен соответствующей разности неопределённых интегралов 

        Свойство 6. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла 

        Свойство 7. Если