26. Функция нескольких переменных. График функции 2-х переменных. Линии уровня функции 2-х переменных. Полное приращение и частные приращения функций 2-х переменных

Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области W ставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y). z=f(x,y)

Геометрическое изображение функции двух переменных - поверхность.

Частное и полное приращение функции.

Полное приращение функции Dz=f(x+Dx, y+Dy)-f(x,y)

Частное приращение функции Dx z=f(x+Dx)-f(x,y)

Dy z=f(x,y+Dy)-f(x,y)

Вообще, полное приращение функции не равно сумме частных приращений.

График функции 2-х переменных. Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению z= =f(x,y), называется графиком функции двух переменных.

Рассмотрим функцию . Придадим переменной в точке произвольное приращение , оставляя значение переменной неизменным. Соответствующее приращение функции называется частным приращением функции по переменной в точке . Аналогично определяется частное приращение функции по переменной : .

1. Частной производной функции двух переменных по переменной в точке называется конечный предел отношения частного приращения функции по переменной к приращению этой переменной при стремлении к нулю приращения :

. Обозначение частной производной по : , , , . Частной производной функции по переменной называется конечный предел: . Обозначения: , , , . Для нахождения частной производной по переменной используются правила дифференцирования функции одной переменной, считая переменную постоянной.. Аналогично, для нахождения частной производной по переменной постоянной считается переменная . Пусть функция z=f(x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные f_x^/(x,y) и f_y^/(x,y).Зафиксируем пару значений x и y и дадим им приращения  и . Тогда функция получит приращение,  которое называется полным приращением. Запишем  следующим образом:  (3).

Каждое из выражений в скобках представляет собой частное приращение функции z. Применим к этим выражениям формулу Лагранжа:

,

Где  а . Если  и  то . Значит, в силу непрерывности частных производных, при   . Таким образом,   , где  и  бесконечно малые величины. Отсюда:  (4).

 Обозначим  Тогда , где . Так как , , поэтому . Значит, при  и ,  также стремиться к нулю. Соотношения  равносильны соотношению . Окончательно,

   (5)

причем . Формула (5) называется формулой полного приращения функции. Сумма первых двух слагаемых есть выражение линейное относительно  и   и представляет собой главную часть приращения, отличаясь от  на бесконечно малую высшего порядка относительно . Линейная часть приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается dz.

.

Приращения независимых переменных  и  равны дифференциалам независимых переменных, т.е. dx= и dy= . Тогда . Равенство (5) можно переписать в виде: ,и, с точностью до бесконечно малой высшего порядка относительно  можно записать приближенное равенство: , причем точность этого равенства тем выше, чем меньше приращения аргументов.