21. Матрица смежности, расстояний, структурная

а) Матрица смежности

Понятие смежности существует как для вершины графа, так и для его дуг (ребер). Две вершины графа  x_i  и  x_j называются смежными, если существует дуга (x_i, x_j), соединяющая эти две вершины. Рассмотрим граф, состоящий из 4 вершин, приведенный на рисунке 1. Матрицей смежности называется квадратная таблица, строки и столбцы которой соответствуют вершинам, а вхождения (элементы матрицы) образуются по принципу:

         

На рисунке 3 приведена матрица смежности для графа рисунка 1.

	x1	x2	x3	x4
x1	1	1	0	0
x2	0	0	1	0
x3	0	1	0	1
x4	0	0	0	0

                                   Рисунок 3

Для графа без петель главная диагональ матрицы представлена нулями. Общая сумма единиц матрицы равна числу дуг.

б) Матрица смежности весов дуг

Пусть задан граф G = (X, U) без петель и каждой дуге (x_i, x_j) поставлено в соответствие некоторое число а_ij, называемое весом дуги. Если вместо единиц в матрице смежности поставить а_ij, полученную матрицу называют матрицей смежности весов. В качестве веса дуги может выступать длина дуги (x_i, x_J), стоимость, пропускная способность и другие показатели, характеризующие дуги графа. В зависимости от физического смысла показателя a_ij изменяется название матрицы и вхождения (x_i, x_j). Например, пусть на рисунке 4 приведены граф с весами а_ij, которые могут иметь различную экономическую сущность.

Рисунок 4

	x1	x2	x3	x4	x5
x1		а12	а13
x2			а23	а24	а25
X3				а34
x4					а45
x5					

Рисунок 5

Пусть а_ij - стоимость создания коммуникации между вершинами x_i и x_J. Тогда наличие дуг (x_i, x_J) отразится в матрице стоимости числом  а_ij, а ее отсутствие - знаком  . Аналогично будет выглядеть матрица длин (т.е. если  а_ij - длина дуги (x_i, x_J)). Если положим, что  а_ij -это пропускная способность коммуникации между x_i и  x_J, то матрица пропускных способностей может быть построена с учетом следующих допущений: пропускная способность вершины, т.е. вхождения клетки  (x_i, x_i) равна , а отсутствие дуги (x_i, x_J) равноценно нулевой пропускной способности. Соответствующая матрица пропускной способности приведена на рисунке 6.

	x1	x2	x3	x4	x5
x1		r12	r13		
x2			r23	r24	r25
x3				r34	
x4					r45
x5				

Рисунок 6

с) Матрица инциденций

Описанные выше матрицы отражали отношения между вершинами графа, а матрица инциденций отображает отношения между дугами (ребрами) и вершинами. Если вершины  x_i, x_J являются граничными для некоторой дуги (ребра) (x_i, x_J) = U_{i j}, то говорят, что эти вершины инцидентны дуге (ребру)  U_{i j}, а дуга   U_{i j} - инцидентна вершинам  x_i, x_J. Матрица инциденций представляет собой прямоугольную таблицу, строки которой соответствуют вершинам графа, а столбцы - его дугам, для ориентированного графа или ребрам - для неориентированного графа. Вхождения матрицы  S_{i j} определяются соотношением:

         

Матрица инциденций для графа рисунка 4 приведена на рисунке 7.

	U12	U13	U23	U24	U25	U34	U45
x1	1	1	0	0	0	0	0
x2	-1	0	1	1	1	0	0
x3	0	-1	-1	0	0	1	0
x4	0	0	0	-1	0	-1	1
x5	0	0	0	0	-1	0	-1

Рисунок 7

 Так как каждая дуга имеет начало и конец, то в каждом столбце, соответствующем любой дуге существует одна единица с плюсом, а одна - с минусом.  Количество положительных единиц в каждой строке  x_i  показывает число исходящих дуг из x_i, а количество отрицательных единиц - количество входящих в нее дуг.  Для неориентированного графа вхождения  S_{i j} определяются соотношением

         

д) Матрица контуров

Для образования такой матрицы в графе выделяются все возможные независимые контуры, задается их ориентация (например, по часовой стрелке) и строится прямоугольная таблица, строки которой соответствуют контурам, а столбцы - дугам. Пусть на графе рисунка 4 выделены три независимых контура:          направление обхода по часовой стрелке. Вхождения матрицы определяются соотношением:

         

	U12	U13	U23	U24	U25	U34	U45
 1	1	-1	1	0	0	0	0
 2	0	0	-1	1	0	-1	0
 3	0	0	0	-1	1	0	-1

Рисунок 8

  е) Структурная матрица

Для анализа структуры сетей, построения путей и сечений, отвечающих определенным требованиям, применяются структурные матрицы. Структурной матрицей В графа с N вершинами будем называть квадратную таблицу, в которой строки и столбцы соответствуют вершинам х_i (х_i Х, G = (Х,U))

В = ||  _{i j}||,

а вхождения  _{i j} определяются соотношением:

      

На рисунке 9 (а, б) приведен граф и соответствующая ему структурная матрица.

а) Граф
б) Структурная матрица

	1	2	3	4	5
1	1	a	d	0	0
2	0	1	c	b	0
3	d	c	1	n	e
4	0	0	n	1	m
5	0	0	e	0	1

                                            Рисунок 9