20. Графы, их элементы
Граф – некоторый рисунок, схема, картина.
Вершины соединены линиями. Множество линий образуют совокупность ребер.
Граф – множество вершин и поставленных им в соответствие множество линий.
Граф обозначается G=(X,Г)
Эту
запись можно представить графически,
если элементы х
Х изобразить точками плоскости, а
отображение Гх линиями. Если точка xi
отображается в одну точку xj
xi
, то Г – однозначное отображение, в
противном случае – многозначное.
Пусть имеем X={x1,x2,x3,x4} и
Гх1={x1,x2}
Гх2={x3}
Гх3={x2,x4}
Гх4= O
Данный граф изображён на рис.1
Рисунок 1
Множество отображений xi=Гxj , представленных линиями, называют множеством дуг и обозначают U. Тогда граф можно обозначить G=(X,U). Точки называются вершинами графа. Если вершина отображается сама на себя x1=Гx1 , то дуга называется петлёй. В практических приложениях такие дуги обычно не рассматриваются. Если множество отображений вершины пусто (Гх4= O ), то такую систему называют конечной. Вершины обозначаются цифрами, буквами с индексами или заглавными буквами:
А={1,2,…,n}; X={x1,x2,x3,…,xn}; X={A,B,C,…,N}
Дуги обозначаются отдельными буквами, буквами с индексами или парой букв или цифр, соответствующих начальной и конечной вершине.
U={a,b,c,…,k}
U={u1,u2,…,un}
U={( x1,x2); (x2,x3); (x3,x2); (x3,x4)}
Можно выделить три типа графов
1 Логический смысл вершин начала и конца дуг различен, линии – дуги помечены стрелками. Такие графы называются ориентированными (орграфы) (напр., сеть радиовещания). 2 Направление связей не имеет принципиального значения, линии не имеют стрелок и называются рёбрами. Граф называется неориентированным. (напр., ГТС). 3 Графы, имеющие как дуги, так и рёбра, называются смешанными (например, система телекоммуникации). Особое место занимает нуль-граф- граф без дуг и рёбер, состоящий только из вершин. Для ориентированного графа введено понятие пути, т.е. последовательности дуг, причём конец каждой предыдущей совпадает с началом последующей
={U1,2, U2,3,…, Ujk}
Путь называется простым, если никакая дуга не встречается дважды и составным – в противном случае; элементарным – если никакая вершина не встречается дважды. В технических приложениях используются только простые, элементарные пути и эти определения обычно опускаются. Замкнутый путь называется контуром. Последовательность рёбер и разнонаправленных дуг называется цепью. Замкнутая цепь называется циклом. В работах [5,6] неправомерно объединены понятия путь и цепь (см.стр.140 в [5]), а также “контур”, “цикл” и “маршрут” (стр.141 в [5]), поэтому при изучении этих источников необходимо критически оценивать излагаемый материал, чтобы по смыслу задачи понять о направленных или ненаправленных последовательностях идёт речь. Очень часто в технической литературе смешиваются такие понятия, как “длина пути” и “ранг пути”. В работе [1]: “длина пути ={U1, U2,…, Un}есть число n дуг последовательности” (стр.13). В то же время у Бержа есть определение длины пути, как суммы длин всех дуг этого пути. На мой взгляд целесообразно использовать терминологию более поздних изданий [5,6] и считать: ранг пути – это число дуг, составляющих путь; длина пути – сумма длин дуг, составляющих путь. Учитывая, что дугам могут быть поставлены в соответствие различные физические характеристики – вес, длина, стоимость и т.д., то соответствующая сумма будет характеристикой пути.