22. Пути и методы их построения

Путь - это последовательность дуг, в которой начало каждой последующей совпадает с концом предыдущей. Путь из узла а_s в узел а_t обозначается как множество дуг, вершин или их совокупности:

 _st = (а_s, U_sl, a_l, U_lv, a_v..., a_t) или

 _st = (а_s, a_l,..., a_t) или

 _st = (U_sl, U_lv,..., U_kt)

Количество дуг, составляющих путь, называется рангом и обозначается r( _st). Минимальный ранг пути равен 1, а максимальный N - 1, где N - количество вершин графа. Все пути от  а_s  до  a_t   образуют множество m_st

m_st = ( _st¹,  _st²,...,  _st^k)

Если каждой дуге (i, j) графа поставить в соответствие некоторое число p_i,j, то сумма весов дуг пути является числовой характеристикой - весом пути

Р _st =  р _i,j

(i,j)  _st

В качестве Р_i,j может быть стоимость, длина или другая характеристика. Сечением  графа назовем неизбыточную совокупность дуг, которые нужно изъять из графа, чтобы нарушить его связность. Сечением  _st по отношению к вершинам  а_s и  a_t будем называть такие сечения, при которых узлы  а_s, a_t будут в разных подграфах. Сечение записывается перечнем составляющих его дуг, количество которых составляет ранг сечения. Булева алгебра - это раздел математики, в котором определены три операции: логическое сложение (дизъюнкция), обозначаемое знаком , логическое умножение (конъюнкция), обозначаемое знаками или ( • ) и инверсия (отрицание), обозначаемое чертой над переменной. Правила булевой алгебры следующие:

Булевые переменные могут быть элементами матриц, определителей и тогда операции над ними выполняются по правилам булевой алгебры. Например, умножим матрицу А на матрицу В.

,  

При вычислении определителей все произведения элементов соединяются знаком дизъюнкции.

При вычислении определителей, порядок которых больше 3, производится разложение их по элементам строки (столбца) для понижения порядка по формуле:

где    а_ij, a_i2, a_in- элементы i- строки, по которой производится разложение;

A_ij - алгебраическое дополнение - определитель, полученный вычеркиванием   i - строки и j - столбца.

Для построения множества всех путей, соединяющих вершину   а_s  c вершиной  а_t  необходимо:

- построить структурную матрицу В, соответствующую заданному графу;   - вычеркнуть столбец, соответствующий вершине  а_s и строку, соответствующую а_t; - для оставшейся матрицы построить определитель  В_st            - раскрыть его по правилам булевой алгебры. Полученный результат - множество путей из  а_s  в  а_t.

Например. Дан граф (рисунок 10).

Рисунок 10

           Построить множество путей из вершины 1 в вершину 3.            Структурная матрица В приведена на рисунке 11.

Рисунок 11

Вычеркнем 1 столбец и 3 строку. Получаем определитель |В₁₃ |, подсчитаем его.

Получено множество, состоящее из трех путей:

 ¹₁₃ = (ac)

 ²₁₃ = (ab n)

 ³₁₃ = (d)

m₁₃ = ( ¹₁₃,  ²₁₃,  ³₁₃).

23. Сечения

Например. Дан граф (рисунок 10).

Рисунок 10

 Построить множество путей из вершины 1 в вершину 3.

 Структурная матрица В приведена на рисунке 11.

Рисунок 11

Вычеркнем 1 столбец и 3 строку. Получаем определитель |В₁₃ |, подсчитаем его.

Получено множество, состоящее из трех путей:

 ¹₁₃ = (ac)

 ²₁₃ = (ab n)

 ³₁₃ = (d)

m₁₃ = ( ¹₁₃,  ²₁₃,  ³₁₃).

Сечения (или квазисечения) рассекающие множество путей m_stнаходятся по следующему алгоритму, который поясним на рассмотренном выше примере:

- множество путей представим как булеву функцию: каждый путь - это конъюнкция входящих в него дуг ( ¹₁₃ = (ac)), а все множество путей - дизъюнкция этих путей

- каждое слагаемое заключается в скобки и знаки сложения заменяются умножением и наоборот; полученная функция - это уже сечение _st;

- производятся действия раскрытия скобок и упрощения согласно правилам булевой алгебры.

С помощью операции умножения структурной матрицы В саму на себя (т.е. возведение ее в квадрат) можно получить все множество путей на графе, ранг, которых не превышает 2, при этом множество путей между  а_i  и a_j  будет записано на пересечении i- строки и j - столбца матрицы B².

Возведем в квадрат структурную матрицу В рисунка 10. Диагональные элементы матрицы  B²  будут равны 1. Для получения вхождения  в²₁₂  умножим первую строку на второй столбец:

аналогично в²₁₃

и т.д.

Продолжая вычисления получим

Если возвести структурную матрицу в куб, причем В³ = В² * В = В * В², получим все множество путей, ранг которых меньше или равен 3. Поскольку ранг пути на графе не может быть больше N- 1, где N- число вершин, то на некотором этапе увеличения степени не приводит к получению новых путей, т.е. B^q = B^{q + 1}. Матрица  B^q  называется характеристической (или матрицей всех путей). Наибольший ранг пути равен q. В описанных матрицах  В^k  каждое вхождение представляет собой совокупность путей различного ранга от первого до k. Иногда в исследованиях целесообразно получить пути определенного ранга - только 2, только 3 и т.д. В этом случае в структурной матрице необходимо диагональные единицы заменить нулями и над такой преобразованной матрицей  В₀ выполнить описанные выше действия.

Для матриц  В₀  допустимо только последовательное повышение степени:

В²₀ = В₀ * В₀

В³₀= В²₀ * В₀

В⁴₀= В³₀ * В₀, т.к. В³₀* В₀>< В²₀* В²₀