Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения

Здесь и определяют по их проекциям на оси естественного трехгранника Мnb, имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с нею (рисунок 3.5). Направления осей: М - по касательной к траектории в сторону положительного отсчета s; главная нормаль Мn - по нормали к траектории, лежащей в соприкасающейся плоскости, и направленной в сторону вогнутости траектории; бинормаль Mb - перпендикулярно к первым двум так, чтобы она о бразовывала с ними правую систему осей.

Определим скорость точки

.

Проекция скорости точки на касательную к ее траектории

.

Очевидно, что и модуль скорости .

Для ускорения точки имеем

т.к. (ρ – радиус кривизны траектории точки в рассматриваемом положении), то

,

т.е., ускорение равно сумме касательной и нормальной составляющих

.

Вектор лежит в соприкасающейся плоскости, т. е в плоскости Mn. Проецируя обе части равенства на оси М, Мn и Mb, получим

.

Числовое значение скорости в любой момент времени выражается производной от расстояния по времени: v = ds/dt или v = f'(t).

Быстрота изменения модуля скорости характеризуется касательным (тангенсальным) ускорением a_t – составляющей полного ускорения a, направленной по касательной к траектории (см. рис. 192).

Числовое значение касательного ускорения в общем случае определяется по формуле a_t = dv/dt или a_t = f''(t).

Быстрота изменения направления скорости характеризуется центростремительным (нормальным) ускорением a_n – составляющей полного ускорения a, направленного по нормали к траектории в сторону центра кривизны (см. рис. 192).

Числовое значение нормального ускорения определяется в общем случае по формуле a_n = v²/R, где v – модуль скорости точки в данный момент; R – радиус кривизны траектории в месте, где находится точка в данный момент.

Билет10. Поступательное и вращательное движения твердого тела. Равномерное и равнопеременное вращения.

Поступательным называется такое движение АТТ, при котором любая прямая, проведенная в теле, перемещается, оставаясь параллельной себе, при этом траектории его точек могут быть любыми кривыми. Справедлива теорема: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения. Кинематика АТТ в этом случае сводится к кинематике точки.

При вращении АТТ вокруг неподвижной оси, его точки, лежащие на оси, остаются неподвижными (АВ на рисунке 3.6). Через ось проведем две плоскости - неподвижную и подвижную, связанную с телом. Двугранный угол  между ними называют углом поворота тела и считают положительным, когда он отсчитывается от неподвижной плоскости к подвижной против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси вращения. Закон вращения АТТ вокруг неподвижной оси – это зависимость

 =  (t).

Угловая скорость характеризует изменение 

 = d/dt или .

Угловое ускорение характеризует изменение с течением времени

 = d/dt = d² /dt² или .

Если во все время движения =const, то вращение называют равномерным. Из формулы  = d/dt интегрируя, найдем его закон .

При равномерном вращении, если , то

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным (=const), то вращение называется равно­переменным, закон которого имеет вид

.

Билет11. Скорости и ускорения точек вращающегося тела.

При вращении точка М описывает окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр P лежит на оси. За время dt тело поворачивается на угол d, точка М совершает перемещение ds = h∙ d. Тогда

.

Ускорения точки найдем как

.

Ускорение направлено по касательной к траектории (в сторону движения при ускоренном вращении и в обратную сторону при замедленном), ускорение всегда направлено по радиусу МP к оси. Полное ускорение точки равно

,

а угол  определяется через зависимость

.

Для векторов и можно получить формулы

,

.

Билет12. Уравнения плоскопараллельного движения. Определение скоростей точек плоской фигуры. Теорема о проекциях скоростей двух точек.

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Рассмотрим сечение тела какой-нибудь плоскостью OXY, параллельной неподвижной плоскости П (рис. 1.56).

Рис. 1.56 Рис. 1.57

При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой , перпендикулярной к сечению, т.е. к плоскости П, движутся тождественно. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изучить, как дви-жется сечение тела в плоскости OXY. В дальнейшем будем плоскость OXY совмещать с плоскостью рисунка, а вместо всего тела изображать только его сечение. Положение сечения в плоскости OXY определяется положением какого-нибудь проведенного в этом сечении отрезка АВ (рис. 1.57). Положение отрезка АВ можно определить, зная координаты точки А и угол , который от-резок АВ образует с осью x. Точку А, выбранную для определения положения сечения, называют полюсом. При движении тела величины и будут меняться:

(1.74)

Уравнения (1.74), определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

Теорема 1. Абсолютная скорость любой точки плоской фигуры в каждый данный момент равна геометрической сумме двух скоростей: скорости про-извольно выбранного полюса в поступательном движении плоской фигуры и вращательной скорости во вращательном движении фигуры относительно полюса. Положение любой точки В тела можно определить равенством

Взяв производную от обеих частей уравнения по времени получим,

,

где - искомая скорость; - скорость полюса; - скорость точки В при вращательном движении тела вокруг полюса А при Таким образом

Теорема 2. Проекции скоростей двух точек плоской фигуры на ось, про-ходящую через эти точки, равны и имеют одинаковый знак (рис. 1.60). Зная, что , спроецируем данное выражение на прямую АВ, тогда

Известны направления скоростей двух точек. Рассмотрим этот случай на примере кривошипно-шатунного механизма (рис. 1.66). Направления скоростей точки А кривошипа и ползуна В известны. МЦС должен лежать в точке пересечения перпендикуля-ров к направлениям скоростей этих точек. Эта точка в бесконечности. Точка А принадлежит кривошипу и ее скорость , но точка А также принадлежит и шатуну АВ. Выберем точку А за полюс, тогда , спроецируем на прямую АВ:

Спроецируем векторное равенство на перпендикуляр к АВ: