1.3. Уравнение состояния вещества

В систему основных уравнений газовой динамики входит уравнение состояния среды. Конкретный вид уравнения состояния определяется либо из опыта, либо находится, в некоторых частных случаях, методами статистической физики. Для твердых и жидких тел разработаны полу эмпирические методы получения уравнений состояния. В основе определения такого уравнения лежат ударные ударные адиабаты твердых и жидких тел.

Уравнение состояния системы может быть задано, например, в форме:

(1.5)

(1.6)

(1.7)

В этих уравнениях в качестве независимых переменных выбраны два параметра: удельный объем и температура Т. Уравнение (1.5) называется термиче­ским уравнением состояния, поскольку с помощью этого уравнения определяется температура. Уравнение (1.6) называется калорическим уравнением состояния. Основное уравнение термодинамики

(1.8)

связывает пять функций состояния: р, Е, 5, Т и v. Если две из них выбрать в качестве независимых переменных, например Т и v, то для определения трех функций, p, Е, S, необходимы три уравнения. Отсюда следует, что уравнения (1.5) — (1.7) cовместно с (1.8) не могут быть независимы. Для нахождения связи между ними запишем дифференциалы S и Е:

(1.9)

(1.10)

Поставим уравнение (1.10) в основное уравнение термодинамики (1.8):

(1.11)

Сравнивания уравнения (1.9) и (1.10) получим:

(1.12)

Дифференцированием этих уравнений можно исключить S:

(1.13)

Уравнения (1.12) показывают, что если известны уравнения состояния (1.5) и (1.6), то можно определить уравнение (1.7) с точностью до произвольной постоянной. При этом уравнения (1.5) и (1.6) связаны между собой дифференци­альным соотношением (1.12). Если известно только уравнение (1.5), то с помощью уравнения (1.13) можно получить Е с точностью до произвольной функции Т.

Среди пяти термодинамических функций, р, , T, Е, S, можно выбрать любые две в качестве независимых переменных.

если в качестве независимых пере­менных принять удельный объем v и энтропию S, то, используя уравнение (1.8) и дифференциал для Е = Е ( ,S), получим

(1.14)

Исключая из этих уравнений Е с помощью дифференцирования , получим

(1.15)

если уравнения состояния имеют вид

то, на основании термодинамического уравнения (1.8), существуют следующие уравнения, которые связывают Е, S и Т:

(1.16)

Исключая отсюда Т, получим

(1.17)

Если известно уравнение состояния , то можно получить уравнение состояния с точностью до произвольной функции энтропии S. Исключая из (1.16) Е, получим

(1.18)

При известном уравнении состояния из этого уравнения можно по­лучить уравнение состояния с точностью до произвольной функции энтропии S.

Если уравнение состояния известно в виде , то можно определить уравнение состояния

(1.19)

Для этого, считая, что , запишем выражение

Используя (1.8) и (1.13), а также учитывая, что , получим

(1.20)

Отсюда

Интегрируя это уравнение, получим

(1.21)

Если исключить отсюда Т с помощью известного уравнения , то можно получить уравнение состояния (1.19). Так, например, если уравнение имеет вид

(1.22)

то ). Если принять, что , уравнение (1.21) примет вид

(1.23)

Определим Т из уравнения (1.22) и подставим его в уравнение (1.23); в результате получим

( 1.24)

или

(1.25)

Это и есть искомое уравнение , соответствующее уравнению состояния .

Для совершенного газа уравнение состояния имеет вид . Подставляя это уравнение в (1.23), получим уравнение состояния в виде

,

или

. (1.26)

Уравнения (1.24) и (1.26) при условии S = const являются уравнениями изоэнтропы. Для совершенного газа уравнение изоэнтропы имеет вид , где А = const.

Если уравнение имеет вид (1.24), то условие адиабатности движе­ния среды будет

(1.27)