3 Өлшеу қателіктері. Қателіктердің жіктелуі. Қателіктерді бағалау принциптері.

Өлшеу құралдары мен нәтижелерінің сапасын, қателіктерін көрсете отырып, сипаттау қажет. “Қателік” деген ұғымды енгізу мыналар сияқты үш ұғымдарды анықтау және нақты шектеуді қажет етеді: өлшенетін физикалық шаманың шын және нақты мәні мен өлшеу нәтижесі. Физикалық шаманың шын мәні – берілген объектінің мөлшерлі түрдегі және сапасы жағынан қасиетін бейнелейтін идеалды мәні. Ол біздің сана сезімімізге тәуелді емес, идеалды шама болып табылады. Тәжірибеде бұл абстракталы ұғымды “ақиқат шама” деген шамамен алмастырған жөн. Физикалық шаманың нақты мәні – бұл тәжірибеден алынған және мақсатқа сай сол бір керекті шын мәнге жақын шама болып табылады. Өлшеу нәтижесі - өлшеу жолымен алынған шаманың шын мәнін өзінше жуықтап бағалау.

“Қателік” деген ұғым “өлшеу нәтижесінің қателігі” және “өлшеу құралдарының қателігі” деген түсініктемелерден тұратын метрологияның ең маңызды мәселесі. Өлшеу нәтижесінің қателігі – ол өлшеу нәтижесі Х пен өлшенетін шаманың ақиқат (немесе нақты) мәні Q арасындағы айырымы:

 = X – Q (3.1)

Ол өлшенетін шама мәнінің анықталмау шегін көрсетеді. Өлшеу құралдарының қателіктері – ол ӨЖ көрсеткіштері мен өлшенетін ФШ-ның айғақты (немесе нақты) мәндері арасындағы аралықты көрсетеді. Ол берілген құралдар арқылы жүргізілген өлшеу нәтижелерінің дәлділігін сипаттайды.

Бұл екі түсініктемелер бір-біріне едәуір жақын және бірдей белгілермен жіктеледі.

Әсер ету сипаты бойынша қателіктер кездейсоқ, жүйелі, прогрестенуші және дөрекі (қате жіберу) болып бөлінеді.

Қателіктердің жоғарыда келтірілген анықтамаларынан олар қандай-да бір құраушылардан тұратыны тиіс екенін байқалмайды. Қателіктерді құраушыларға бөлу олардың көрсетілу сипатына қарай өлшеу нәтижелерін өңдеу қолайлығы үшін енгізілген. Метрологияның құрылу процесінде қателік тұрақты шама емес екені байқалды. Қарапайым талдау жолымен оның бір бөлігі тұрақты шама ретінде көрсетілетіні, ал екіншісі – алдын ала болжанбай өзгереді. Бұл бөліктерді жүйелі және кездейсоқ қателіктер деп атайды.

Кездейсоқ қателік – қандай да бір ФШ-ны бірдей жағдайларда ұқыпты түрде қайталап өлшеу кезінде кездейсоқ түрде (таңбасы мен мәні бойынша) өзгеретінөлшеу нәтижелерінің бір құрамы болып табылады. Мұндай қателіктер пайда болған кезде ешқандай заңдылыққа жүгінбейді, ол бірдей шамаларды қайталап өлшеу нәтижесінің кейбір шашырандысы түрінде алынады. Кездейсоқ қателіктерден біз құтыла да, жоя да алмаймыз, олар әрқашан да өлшеу нәтижелерінде болады. Кездейсоқ қателіктер кездейсоқ процесстер мен математикалық статистика теориясы негізінде ғана бейнеленуі мүмкін.

Кездейсоқ қателіктердә жүйелі қателіктен айырмашылығы, оны өлшеу нәтижесінен түзету жолы арқылы жоя алмаймыз, бірақ оларды бақылау санын жоғарлату жолымен азайтуға болады. Сондықтан да нәтижені өлшенетін шаманың шын мәнінен минималды аз ғана ерекшеленетін түрде алу үшін, қажетті шаманы тәжірибеде берілген мәндерді математикалық тізбекті өңдеу арқылы көп ретті өлшеу керек.

Жүйелі қателік – бірдей ФШ-ны кайталап өлшеу кезінде тұрақты түрде қалатын немесе ережелерге сәйкес өзгеретін өлшеу нәтижелерінің құрамы болып табылады. Оның ерекшелігі - олар алдын ала болжанып, табылады және осыған байланысты құраушы түзетпелерді енгізе отырып, толығымен жойыла алады.

Прогрестенуші (дрейфтік) қателік – бұл уақыт бойынша жәй өзгеретін, алдын ала болжанылмайтын қателік. Прогрестенуші қателіктердің ерекше қасиеттері:

- олар тек берілген уақытта ғана түзету арқылы көшіріле алады да, кейін алдын–ала болжанбай өзгере береді;

- прогрестенуші қателіктердің уақыт бойынша өзгеруі - тұрақсыз кездейсоқ прогресс, сондықтан да тұрақты кездейсоқ процесстердің жақсы өңделген терия негізінде тек белгілі ескертпелер арқылы беріледі.

Прогрестенуші қателік – бұл қателіктердің уақыт бойынша өзгеруінің тұрақсыз кездейсоқ процессі үшін спецификалық ұғым, ол кездейсоқ және жүйелі қателік ұғымдарына келтіріле алмайды. Бұлар тек тұрақты кездейсоқ процесстер үшін ғана сипатты. Прогрестенуші қателік тұрақсыз кездейсоқ процесстің ағынды математикалық күтілуінің уақыт бойынша тұрақсыздығымен қатар, оның түрі мен дисперсиясының таралу заңдылығында уақыт бойынша өзгеруі салдарынан туу мүмкін.

Дөрекі қателік (қате жіберу) – бұл өлшеу қатарына кіретін жеке бақылау нәтижесінде алынатын кездейсоқ қателік, ол берілген шарттарда осы қатардың басқа нәтижелерінен лезде ерекшелене алады. Олар, ереже бойынша, оператордың қателігі немесе дұрыс емес әрекеттерінен (оның психофизиологиялық жағдайы, дұрыс есептемеуі, жазба немесе есептеуде кеткен қателіктер, аспаптарды дұрыс қоспауы немесе олардың жұмыс кезіндегі бөгеттер және т. б.) пайда болады. Қателіктің пайда болуының себебі өлшеу жүргізу жағдайының аз уақытта лезде өзгеруі болып табылады. Егер қателіктер өлшеу процесінде пайда болса, олардан тұратын нәтижелер алып тасталады.

Қателіктерді өрнектеу тәсілдері бойынша оларды абсолютті, қатысты және келтірілген деп бөледі.

Абсолютті қателік (3.1) формуласы бойынша жазылады және өлшенетін шаманың бірлігімен беріледі. Дегенмен, ол өлшеу дәлдігінің көрсеткіші ретінде бола алмайды, өйткені, мысалы, Х = 100 болған кезде  = 0,05 өлшеудің жоғарғы дәлдігіне сәйкес, Х = 1 мм кезінде – төменгіге сәйкес келеді. Сондықтан да қатысты қателік деген түсініктеме енгізілген. Салыстырмалы қателік – абсолютті өлшеу қателігінің өлшенетін шаманың шын мәніне қатысы болып табылады:

 = /Q = (X - Q)/Q. (3.2)

Бұл өлшеу нәтижесінің берілген дәлділік сипаты ӨЖ қателіктерін мөлшерлеу үшін жарамайды, өйткені Q мәнін өзгерткен кезде Q = 0 кезіндегі шегіне шейін әртүрлі мәндерді қабылдайды. Осыған байланысты ӨЖ қателіктерін көрсету және мөлшерлеу үшін қателіктің тағы бір түрі – келтірілген қателік қолданылады.

Келтірілген қателік - ӨЖ-нің абсолютті қателігі барлық өлшеу аралығында немесе оның бір бөлігінде тұрақты болатын шартты түрде алынған Q_N мәніне жататын қатысты қателік:

 = /Q_N = (X - Q)/Q_N. (3.3)

Шартты түрде алынған Q_N мәнін мөлшерлеуші деп атайды. Көбінесе оның орнына берілген ӨЖ-нің жоғарғы өлшеу шегін алады, ол негізгі жағдайда “келтірілген қателік” ұғымының орнына пайдаланылады.

Пайда болу орнына байланысты қателіктерді аспапты, әдістемелі және субъективті деп ажыратады.

Аспапты қателік қолданылатын ӨЖ-нен туған. Кейде бұл қателікті аппаратты деп те атайды.

Өлшеудің әдістемелік қателігі мына жағдайлардан туады:

- өлшеу объектісінің алынған моделі оның өлшеу жолымен анықталған қасиетін барабар көрсететін модельден ерекшеленгенінен;

- Ж-ні қолдану тәсілдерінің әсерінен. Бұл мысалы, кернеуді ішкі кедергінің соңғы мәні арқылы вольтметрмен өлшеу кезінде байқалады. Бұл жағдайда вольтметрді кернеу өлшейтін тізбек аймағына шунтирлейді, және ол вольтметр қосылғанға дейінгі мәнінен аз болады;

- өлшеу нәтижелерін есептейтін алгоритмдер (формулалар) әсерінен;

- қолданатын өлшеу құралдарының қасиеттерімен байланысы жоқ басқа факторлар әсерінен.

Әдістемелік қателіктің ерекше қасиеті, ол ӨЖ-де қолданылатын нормативті-техникалық құжаттамаларда көрсетілмейді, өйткені оларға тәуелді емес, олар әрбір нақты жағдайларда оператормен анықталады. Осыған байланысты оператор өзінің өлшейтін шамасын өлшеуге жататын шамалардан ажырата алуы тиіс.

Қателіктерді бағалау принциптері Қателіктерді бағалау өлшеу нәтижелерінің дәлдігі жөніндегі объективті берілгендерді алу мақсатында жүргізіледі. Өлшеу нәтижесінің дәлділігі қателіктермен сипатталады. Өлшеу қателігі нақты математикалық модельмен сипатталады, ол модельді таңдап алу қателіктер жөніндегі априорлы ақпараттар мен өлшеу кезінде алынған берілгендер арқылы дәлелденеді. Таңдап алынған модельдің көмегімен қателіктің сол бір қасиеттерінің мөлшерлі өрнектелуі үшін қолданылатын сипаттамалары мен параметрлері анықталады.

Қателіктердің сипаттамаларын нүктелі және интервалды деп бөлу қабылданған. Нүктеліге кездейсоқ қателіктің ОКА-сы (СКО) мен жүйелі қателіктің модулінің жоғарғы шегі жатады, интервалдыға - өлшеу нәтижесінің анықталмаған шегі жатады. Егер осы шекаралар кейбір ықтималдылықтың жауабы ретінде анықталса, онда олар сенімді интервалдар деп аталады. Егер де қателіктің минималды мүмкін шегін, нақты жағдайда, сондай қателіктерді кездестіре алмасақ, онда олар шекті (шартсыз) интервалдар деп аталады.

Жүйелі қателіктерді алу және жою тәсілдері. Жүйелі қателік өзінше ӨЖ-нің физикалық, конструктивті және технологиялық ерекшеліктеріне тәуелді әсер етуші факторлардың нақты функцияларын, оларды пайдалану жағдайларын, және сонымен қатар бақылаушының жеке сапасын береді.

Жүйелі қателіктер кезінде алынған бақылау нәтижелері түзетілмеген деп аталады. Өлшеу кезінде жүйелі қателіктерді максималды дәрежеде жоюға және әсерін ескеруге тырысады. Оған мына жолдар арқылы жетуге болады:

- қателіктердің қорек көзін өлшеуді бастамай тұрып алып тастау. Көптеген өлшеу аймақтарында жүйелі қателіктің басты қорек көздері белгілі және оларды тудыру жолдарын жою мен олардың өлшеу нәтижелеріне әсерін болдырмайтын әдістері өңделген. Осыған байланыты өлшеу тәжірибесінде жүйелі қателіктерді экспериментті мәліметтерді өңдеу арқылы емес, сәйкес өлшеу әдістерін тарататын ӨЖ-ні пайдалану арқылы жоюға ұмтылады;

- түзетулерді анықтап, оларды өлшеу нәтижесіне енгізу;

- жойылмаған жүйелі қателіктердің шегін бағалау;

Тұрақты жүйелі қателік өлшеу нәтижелерін бірігіп өңдеу әдісімен таба алмайды. Бірақ та кездейсоқ қателікті сипаттайтын өлшеу нәтижесінің көрсеткішін де, жүйелі қателіктің айнымалы құрамын табу нәтижесін де бұрмаламайды.

Тұрақты жүйелі қателіктер тек өлшеу нәтижелерін өте жоғары дәлдіктегі әдістер мен құралдар көмегімен алынған басқа нәтижелермен салыстыру жолымен табылуы мүмкін. Кейде бұл қателіктер өлшеу процесінің арнайы жолдарымен жойылуы мүмкін. Бұл әдістер төменде қарастырылған.

Нақты айымалы жүйелі қателік кездейсоқ қателіктің бағалау сипаттамаларын және олардың таралу аппроксимациясын бұрмалайды. Сондықтан да оны тауып алып, өлшеу нәтижелерінен жою керек.

Тұрақты жүйелі қателіктерді жою үшін әртүрлі әдістер қолданылады. Олардың кейбіреуін қарастырайық:

- Орын басу әдісі, өлшенетін шаманы белгілі шамамен алмастыру арқылы жүзеге асатын салыстыру әдісінің бір түрі болып табылады, бұл кезде барлық қолданылатын өлшеу құралдарының күйі мен әрекетінде ешқандай өзгеріс жүрмейді. Бұл әдіс есептің толық шешімін береді. Оны пайдалану үшін, онда өлшенетін шамамен біртекті реттелетін өлшем болу қажет.

- Қарама-қарсы қою әдісі екі рет өлшенетін және екі жағдайда да тұрақты қателіктің себебі әртүрлі, бірақ бақылау нәтижесінің заңды әрекеті бойынша белгілі болатындай етіп жүргізілетін салыстыру әдісінің бір түрі болып табылады.

- Қателіктерді таңбасы бойынша компенсациялау әдісі (жүйелі қателіктің таңбасын өзгерту әдісі) екі рет бақылап өлшеуді қарастырады, ондағы бақылау тұрақты жүйелі қателік әрбіреуінің нәтижесіне әртүрлі таңбалармен кіретіндей етіп орындалады.

- Рандомизациялау әдісі – белгісіз тұрақты жүйелі қателіктерді жою тәсілінің аса универсалды түрі. Оның мәні бірдей шама әртүрлі әдістермен (аспаптармен) өлшенетіні. Олардың әрқайсысының жүйелі қателіктері барлық жиынтықтың әртүрлі кездейсоқ шамалары болып табылады. Осының салдарынан қолданылатын әдістердің (аспаптардың) санын көбейткен кезде жүйелі қателіктер өзара компенсацияланады.

Кездейсоқ қателіктер. Сенімді ықтималдық пен сенімді интервал

Кездейсоқ өлшеу қателіктері – бірдей шамаларды қайталап өлшеу кезінде кездейсоқ түрде өзгеретін өлшеу қателігінің бір құрамы.

Кездейсоқ қателік өзгеретін қарқандылықпен жүйелі түрде берілетін факторлармен анықталады. Кездейсоқ қателіктің мәндері мен таңбаларын анықтау мүмкін емес., өйткені қателік тудыратын себептер әрбір тәжірибеде бірдей әсер етпейді. Кездейсоқ қателік өлшеу нәтижесінен алып тасталына алмайды. Дегенмен бірқатар қайталап өлшеу және оларды өңдеу үшін математикалық статистика әдісін қолдану арқылы кездейсоқ қателігі бар өлшенетін шаманың мәнін бір рет өлшеуген кездегіге қарағанда аз қылып анықтайды.

Кездейсоқ қателікті анықтайтын статистикалық өлшеуді жүргізу үшін барлық әрекет етуші факторлардың қарқындылығы қателіктерді құруға өте жоғары немесе өте төменгі теңдей әсерін қамтамасыз ететін қандай да бір деңгейге дейін жеткізілуін сипаттайтын жағдай тудырылады. Бұл кезде күтілу қателігі жөнінде айтылады. Бұл қателіктен бөлек дөрекі қателіктер және қате жіберу орын алады.

Дөрекі қателік деп берілген жағдайда күтілу қателігінен асатын өлшеу қателігінін айтады. Дөрекі қателіктердің туу себебі болып өлшеу құралдарының жөнделмеуі, өлшеу жағдайлары мен әсер етуші шамалардың бірден өзгеруі болып табылады.

Қате жіберу – нәтижеледі нақты және бірден бұрмалайды. Қате жіберу кездейсоқ субъективті қате болып табылады. Ол экспериментатордың бұрыс әрекеттерінен туады.

Дөрекі қателіктер мен қате жіберу әдетте өңделетін тәжірибелік деректерден алып тасталынады.

Кездейсоқ шамалардың қандай да бір мәнінің объективті мүмкін жағдайда пайда болуын мөлшерлі түрде бағалау үшін ықтималдық деген ұғым қызмет етеді, ол бірлік үлесінде беріледі (ақиқатты оқиғаның ықтималдығы 1-ге тең, ал мүмкін емес оқиғанікі- 0-ге тең)

Үздіксіз кездейсоқ шамалардың математикалық түрде жазылуы әдетте кездейсоқ шамалардың дифференциалды үлестіру заңдылықтары арқылы жүзеге асады. Бұл заңдылықтар кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері мен оларға сәйкес ықтималдық тығыздығы арасындағы байланысты анықтайды (үздіксіз деп шексіз өлшеу сандары арқылы алуға болатын шексіз көп мәндері бар кездейсоқ шамаларды айтады).

Өлшеу кезінде кеңінен тарағаны қалыпты үлестіру заңы болып табылады. Кез-келген Х өлшенетін шаманың қалыпты үлестіру заңы бойынша р(Х) ықтималдық тығыздығының 1 үлестіру қисығы 4.1, а-суретте көрсетілген.

Бұл кезде ықтималдық тығыздығы (немесе үлестіру тығыздығы) кездейсоқ қателіктің мәндері берілген нүктеде үлестірілетін тығыздықты сипаттайды. Қалыпты үлестіру заңы үшін ықтималдық тығыздығы мына теңдеумен жазылды

(3.4)

мұндағы М[Х] пен  - қалыпты үлестірудің сипаттамалары. (сурет- 2.1, а) 1 қисығын координатаның бас нүктесін X = M[X] нүктесіне келтіріп, кездейсоқ қателіктің (2.1, б-сурет) үлестіру қисығы 1 ретінде қарастыруға болады. Бұл жағдайда ықтималдық тығыздығы

(3.5)

мұндағы  = X – M[X] – кездейсоқ қателік.

M[X] пен  сипаттамаларын сәйкесінше математикалық күту және орта квадратты ауытқу деп атайды. Олар кездейсоқ қателіктің маңызды сандық сипаттамасы болып табылады.

Математикалық күту айналасына жеке бақылау нәтижелері топталатын шамалардың мәндері болып табылады, ал орта квадраттық ауытқу математикалық күтуге қатысты жеке бақылау нәтижелерін сипаттайды, яғни ауданы әрқашан да бірге тең болатын ықтималдық тығыздығының үлестіру қисығының түрін сипаттайды. Суретте ортаквадраттық ауытқудың әртүрлі мәндеріндегі кездейсоқ Х шамасы (сур. 3.1, а) мен оның кездейсоқ  қателігінің (сур. 3.1, б) қалыпты үлестіру заңы бойынша қисықтары (Гаусс қисықтары) көрсетілген.

 геометриялық түрде қалыпты үлестірудің симметрия осінен үлестіру қисығының еңкею А нүктесіне дейінгі ара-қашықтығы ретінде анықталады (сурет-3.1, б).

.

Өлшеу нәтижесі немесе кездейсоқ қателіктің қандай да бір алдын ала берілген -_Д –ден +_Д –ге дейінгі аралыққа түсу 3 ықтималдығын анықтау үшін сол аралықта тік сызықтармен шектелген үлестіру қисығы астындағы ауданын табу қажет. Қалыпты үлестіру үшін

(3.6)

(3.6) интегралын аналитикалық түрде шешу мүмкін емес. Әдетте ол мәндердің шамамен бірліктер үлесінде анықтауға мүмкіндік беретін кесте түрінде жүргізіледі. Көбінесе сенімділік интервалын анықтаудан тұратын кері есеп шешіледі.

Шектеулері бар сенімді интервалды (немесе -_Д –ден +_Д –ге дейінгі сенімді интервал сурет 3.1, в) сенімді деп аталатын берілген Р_Д ықтималдығымен өлшенетін шаманың шын мәнін жабатын аралық деп атайды.Қалыпты үлестіру заңы үшін өлшеу нәтижелерін өңдеу тәжірибесінде көбінен пайдаланылатын 2, және 3-ге тең сенімді интервалының сенімді ықтималдығының мәні болып табылады. Сенімді ықтималдықтардың мәндері оларға сәйкес 0,500; 0,950; 0,997-ке тең. Бұл физикалы түрде кездейсоқ қателіктердің аралық шегінде пайда болудың тең ықтималды, яғни ықтималдықтың 50 %-ін құрайды және -ден жоғары үшін 50 % болады. 2  және 3 -ге тең аралықта кездейсоқ қателіктің пайда болу ықтималдығы, 2 пен 3-ден жоғары болған кезде, сәйкесінше 5 және 0,3 %-ті құрайды.

Әдебиеттер

1 [4-35], 1 [3-12], 3 [4-20], 1 [10-22].

Бақылау сұрақтары

1. Өлшеу нәтижесінің қателіктері немен анықталады?

2.Абсолютті, салыстырмалы және келтірілген қателіктерге анықтама беріңіз.

3. Абсолютті, қатысты және келтірілген қателіктер анықталатын формулаларды келтіріңіз.

4. Аспаптық қателікті қалай түсінесіз?

5 Әдістемелік қателікті қалай түсінесіз?

6. Жүйелік қателіктерге анықтама беріңіз.

7. Кездейсоқ қателіктерге анықтама беріңіз.