Тема 8: основы теории вероятностей случайных сигналов

Таковы первичные законы, установленные природой.

Вергилий. Георгики. (Римский поэт)

"Природа не злонамеренна, но коварна". Это не закон. Это только следствие теории вероятностей. И все же непонятно, почему единственная муха в ресторане падает именно в мой суп.

Владимир Бакаев. Наблюдения. (Уральский геофизик)

Содержание: 8.1. Основные понятия теории вероятностей. События и явления. Классификация случайных событий. Сумма событий. Произведение событий. Полная группа событий. Сложные события. 8.2. Вероятности случайных событий. Частотное определение. Определение на основе меры. Основные положения теории вероятностей. Сложение вероятностей. Условная вероятность. Умножение вероятностей. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. 8.3. Случайные величины. Общие понятия. Вероятности случайных величин. Функции от случайной величины. Моменты распределения. Основные числовые характеристики случайных величин. Некоторые распределения случайных величин. Характеристическая функция. 8.4. Системы случайных величин. Функция распределения вероятностей системы. Плотность вероятностей системы. Условные законы распределения. Функции регрессии. Статистическая независимость случайных величин. Моменты систем случайных величин. Сумма и разность случайных величин. Литература.

8.1. Основные понятия теории вероятностей [л28,л29].

Теория вероятностей - один из разделов математики, в котором изучаются закономерности случайных массовых событий, явлений и процессов независимо от их физической природы.

События и явления. Все события и явления реального мира разделяются на закономерные (детерминированные) и случайные (вероятностные).

Закономерные события происходят при создании определенных условий, подчиняются определенным физическим законам и на основании этих законов однозначно предсказываются и изменяются. Возникновение тока в электрической цепи при подключении ее к источнику напряжения - закономерное событие, а сила тока в цепи может определяться и изменяться на основании закона Ома. Закономерное явление - это система, совокупность или последовательность закономерных событий. Генерация импульсного потока - закономерное явление, т.к. и форма импульсов, и время их появления задаются определенными физическими процессами в электрической схеме генератора.

Случайным событием называется такое событие, изменить или предсказать которое в процессе случайного явления невозможно. Случайное событие - это результат (исход) конкретной единичной реализации случайного явления. Так, выпадение чисел 1-6 при бросании игральной кости - случайное явление. Выпадение числа 6 в единичном испытании - случайное событие. Если оно может задаваться, то это уже не игральная кость, а инструмент шулера. Типовое обозначение случайных событий - крупными буквами алфавита (например, событие А - выпадение 1 при бросании кости, событие В - выпадение 2 и т.д.).

Случайность событий может быть обусловлена как собственной физической природой явлений, что характерно для большинства физических процессов в микромире (например, распад радиоактивных ядер), так и определенным вероятностным характером реализации явлений в силу их многофакторной и, как правило, нелинейной зависимости от внешних и внутренних условий, что характерно для процессов в макромире. Например, индивидуализация исхода бросания игральной кости начинается с вариации некоторых начальных условий (положение в пространстве, скорость и направление движения, момент инерции, момент вращения и пр.) и продолжается на всем пути движения кости вплоть до остановки (трение о воздух, положение в момент удара о стол, поглощение энергии удара и пр.). Невозможность точного повторения всех условий опыта определяет случайность результата.

Нетрудно заметить, что понятие случайности явлений, а равно и границы между случайными и закономерными явлениями, довольно расплывчато и существенно зависит не только от природы самих явлений, но и от возможностей задания постоянных условий реализации явлений и фиксирования результатов. Падение напряжения на резисторе при задании через него тока - явление закономерное и значение напряжения может быть "предсказано" со сколь угодно высокой точностью при соответствующей точности задания сопротивления резистора и значения тока. Однако, как известно, если провести серию измерений этого напряжения прибором более высокой точности, то результаты измерений следует отнести к величинам случайным. Измеренные значения не будут выходить за пределы заданной точности, но и не будут повторяться в силу влияния самых различных дестабилизирующих факторов (температура, влажность, электромагнитные помехи и т.п.) как на сам измерительный прибор, так и на объект измерений. Более того, даже если мысленно идеализировать условия опыта и повысить точность задания параметров объекта, то и в этом случае мы выйдем на определенную случайность результатов измерений уже в силу дискретной природы самого электрического тока и флюктуаций движения электронов в резисторе.

С практической точки зрения явление или процесс считаются случайными, если в их формировании в той или иной форме присутствует неопределенность и невозможно с заданной точностью предсказать результаты их конкретных реализаций, физического отображения и измерения в ходе контролируемых экспериментов или повторить в ходе многократных реализаций.

Классификация случайных событий. Событие называют достоверным (и обозначают индексом ), если оно однозначно и предсказуемо. Выпадение суммы чисел больше 1 и меньше 13 при бросании двух костей - достоверное событие. Событие является невозможным (и обозначается индексом ), если в данном явлении оно полностью исключено. Сумма чисел, равная 1 или большая 12 при бросании двух костей - события невозможные. События равновозможны, если шансы на их появление равны. Появление чисел 1-6 для игральной кости равновозможно.

Два события называются совместными, если появление одного из них не влияет и не исключает появление другого. Совместные события могут реализоваться одновременно, как, например, появление какого-либо числа на одной кости ни коим образом не влияет на появление чисел на другой кости. События несовместны, если в одном явлении или при одном испытании они не могут реализоваться одновременно и появление одного из них исключает появление другого (попадание в цель и промах несовместны).

Сумма событий представляет собой такое объединение событий в одно новое событие, сущность которого заключается в реализации хотя бы одного из объединяемых событий: S = A+B+...+N. Такая операция представляет собой аналог дизъюнкции - логического сложения (логическое "ИЛИ"), и может записываться в виде S = AB...N. Так, если события А,В,С - поражение цели соответственно при 1-ом, 2-ом и 3-ем выстреле, то событие S=A+B+C - поражение цели вообще, т.е. любым выстрелом, в том числе двукратное и трехкратное.

Произведение событий представляет собой совмещение событий в одном новом событии, в совместном появлении всех совмещаемых событий: S = AB ... N. Такая операция представляет собой аналог логической конъюнкции (логическое "И"), и может записываться в виде S = AB...N. Продолжая предыдущий пример, событие Z - трехкратное попадание в цель, определяется выражением: Z = ABC.

Попутно заметим, что для логических операций имеем: А+А=А и АА=А.

Полная группа событий. События какого-либо случайного явления образуют полную группу, если в результате единичной реализации явления обязательно произойдет хотя бы одно из них, т.е. выполняется условие: А+В+ ... +N =  (сумма событий полной группы  достоверное событие). Выпадение чисел 1-6 при бросании кости - полная группа событий.

Если полную группу образуют только два несовместных события, как выпадение герба или решки при бросании монеты, то такие события называются противоположными. При обозначении одного из таких событий определенным индексом, например - А, второе обычно обозначается тем же индексом с крышкой сверху: . Соответственно А+ = . Произведение несовместных событий является событием невозможным. В частности, А = .

Сложные события. Различают элементарные (простые) и сложные события. Элементарные события не разделяются на составные события. Выпадение числа при бросании кости - элементарное событие. Сложные события составляются из двух или нескольких элементарных событий. Так, если в примере с тремя выстрелами в цель нас интересует событие D, заключающееся в попадании в цель не менее двух раз, то оно определяется следующим выражением:

D = AB +A C+ BC+ABC