Спектр турбулентных пульсаций

Спектры турбулентных пульсаций делятся на несколько резко различающихся по своему характеру участков. Важный вклад в изучение структуры турбулентности был сделан А.Н. Колмогоровым и А.М. Обуховым. Как уже было сказано, ими была предложена теория локально-изотропной турбулентности. Согласно общим положениям этой теории, совокупность турбулентных возмущений с достаточно малыми масштабами всегда является статистически однородной и изотропной. Статистический режим таких возмущений зависит лишь от средней скорости диссипации механической энергии в теплоту и кинематической вязкости . При этом область совсем малых вихрей, на движение которых непосредственно влияет вязкость, можно выделить в отдельную подобласть, называемую вязким интервалом или интервалом диссипации. Остальную же часть изотропного интервала, где единственным существенным параметром является , называют инерционным интервалом.

Размер неоднородностей, на движение которых оказывают непосредственное влияние вязкие силы, можно оценить на основе размерностей. Из параметров и можно составить единственную комбинацию размерности длины

. (40)

Этот масштаб называют колмогоровским микромасштабом или внутренним масштабом турбулентности. В качестве границ инерционного интервала принимают обычно величину , примерно на порядок большую внутреннего масштаба. Примерно с этого масштаба влияние вязкости становится заметным. Величина , в атмосфере имеет значение в среднем около 1 см.

Понятие инерционного интервала применимо также и к возмущениям поля температуры. Здесь под инерционным интервалом следует понимать интервал масштабов, в котором статистический режим является однородным и изотропным и не зависит ни от конкретных особенностей средних полей и , ни от молекулярных коэффициентов вязкости и теплопроводности.

В силу предположения о локальной изотропии структурная функция имеет вид:

, (41)

где – единичный тензор, а – проекции единичного вектора на координатные оси. Если направить одну из координатных осей вдоль вектора , то получим

, (42)

где – средний квадрат разности проекций скорости на направление, перпендикулярное базе , а – на направление базы. Что касается взаимных структурных функций поля скорости какого-либо скалярного поля (например, температуры), то при выполнении условия несжимаемости и условий локальной изотропии они оказываются тождественно равными нулю(43).

Если жидкость несжимаема, то, как нетрудно показать,

. (44)

Обычно направление базы совмещают с направлением среднего ветра. При этом условие (44) принимает вид

. (45)

Согласно гипотезе А.Н. Колмогорова, структурные функции в инерционном интервале могут зависеть, кроме , только от . Соображения размерности показывают, что в этом случае

, (46)

где – безразмерная константа. Тогда согласно (45)

, (47)

где – так называемая структурная характеристика поля вертикальной компоненты скорости ветра.

Применяя преобразование, обратное преобразованию Фурье, к этим структурным функциям, можно получить одномерные спектры для инерционного интервала

, . (48)

Данное соотношение – так называемый «закон пяти третей» для спектра турбулентности – точно эквивалентно «закону двух третей» для структурных функций, причем

, . (49)

Трехмерный спектр в инерционном интервале дается равенством

, (50)

где .[s]

Таким образом, и спектр, и структурные функции поля скорости ветра в инерционном интервале однозначно определяются величиной и одной из констант, в качестве которой можно выбрать любой из коэффициентов, входящих в (48)(49).

Вообще говоря, можно было бы ожидать, что при наличии термической стратификации архимедовы силы (характеризуемые параметром плавучести ) будут влиять на структуру турбулентности в области всех масштабов, так что теория локально-изотропной турбулентности Колмогорова-Обухова будет применима к атмосферной турбулентности лишь при безразличной стратификации. Однако эксперименты показывают, что одномерные пространственные спектры скорости и температуры (по горизонтальному направлению, во всяком случае) в области малых масштабов подчиняется «закону пяти третей» даже при неравновесной температурной стратификации.

Со стороны малых масштабов (т.е. больших волновых чисел) к инерционному интервалу примыкает так называемая вязкая подобласть – совокупность наиболее мелкомасштабных возмущений поля скорости, на которые уже непосредственно влияет молекулярная вязкость. В этой подобласти все статистические характеристики поля скорости определяются двумя размерными параметрами и .

Со стороны больших масштабов (т.е. малых волновых чисел) к инерционному интервалу примыкает область турбулентных возмущений, горизонтальные размеры которых в атмосфере могут меняться от нескольких десятков метров до сотен километров. Крупномасштабные компоненты вносят основной вклад в турбулентные потоки тепла и количества движения, поэтому изучение их структуры необходимо для ряда практических задач. Кроме того, крупномасштабные характеристики существенно зависят от геометрии границ потока и характера внешних воздействий и поэтому оказывается весьма различными для различных типов течений. При этом спектры турбулентности перестают удовлетворять универсальным «законам 5/3», а структурные функции – «законам 2/3»; одномерный спектр продольной компоненты начинает отклоняться от спектра вертикальной или боковой компоненты, умноженного на 3/4; пульсации вертикальной скорости начинают коррелировать с пульсациями горизонтальной скорости и температуры, что приводит к появлению турбулентных потоков тепла и количества движения и т.д. Каждое из этих следствий может быть принято за характерный признак анизотропии возмущений; поэтому граница инерционного интервала со стороны больших масштабов может быть определена многими различными способами, часто приводящим к очень различным результатам. С точки зрения теории наиболее естественным кажется принять за границу инерционного интервала масштаб , отвечающий волновому числу , начиная с которого спектральный тензор поля скорости становится существенно анизотропным, а функция существенно отклоняется от .

За границей инерционного интервала спектр турбулентности начинает возрастать с убыванием волнового числа медленнее, чем ; в дальнейшем же он обычно даже начинает убывать (пройдя через максимальное значение при некотором значении ). Масштаб, отвечающий значению , также является важной характеристикой турбулентности: он определяет характерные размеры возмущений, содержащих основную часть турбулентной энергии.