Замороженная турбулентность

Для определения пространственных корреляционных или структурных функций по данным наблюдений требуется, вообще говоря, производить измерения сразу во многих точках пространства, что сильно затрудняет их получение. Пространственный спектр после этого можно получить с помощью численного преобразования Фурье.

Гораздо легче в экспериментах иметь дело с временными спектрами, поскольку для их осреднения требуется проводить измерения лишь в одной точке. В этом случае пульсации преобразуются с помощью соответствующего датчика в пульсации электрического напряжения. Временной спектр можно определить с помощью преобразования Фурье временной корреляционной функции

(10)

или родственного преобразования временной структурной функции

. (11)

Нахождение может производиться численно. Вероятностное осреднение во всех операциях с временными функциями приходится заменить на временное. Однако временные характеристики неудобны в том отношении, что основные выводы теории турбулентности относятся не к ним, а к чисто пространственным статистическим характеристикам. Дело в том, что временные характеристики зависят от средней скорости ветра . В связи с этим возникает вопрос о возможности связать временные характеристики с пространственными.

Если предположить, что турбулентные возмущения только переносятся средним течением, не изменяясь при этом (т.е. являются как бы «замороженными»), то такая связь получается очень простой. В этом случае

(12)

и, следовательно

(13)

В применении к однородным и стационарным полям это означает, что

. (14)

Гипотеза, выдвинутая в 1938 г. Дж. Тэйлором [k], и утверждающая, что равенство (14) справедливо и в реальных условиях в некотором диапазоне значений , называется гипотезой о замороженной «турбулентности».

В применении к спектральным характеристикам равенство (14) (если считать его верным при всех или, по крайней мере, на достаточно большом интервале значений ) означает что

, (15)

где – одномерный спектр в направлении средней скорости ветра.

Гипотеза Тейлора была выдвинута первоначально в применении к турбулентности за решетками в аэродинамических трубах, где скорость постоянна и обычно гораздо больше, чем типичное значение пульсационной скорости. Эксперименты в трубах хорошо подтвердили ее применимость. В применении же к атмосфере, где пульсации могут составлять значительную часть от средней скорости, и скорость ветра обычно изменяется с высотой, гипотеза Тейлора кажется более сомнительной. Тем не менее, результаты ряда экспериментов указывают на ее широкую применимость[l].

Основные характеристики приземного слоя

Прежде чем рассматривать спектры турбулентных пульсаций, необходимо дать некоторое описание приземного слоя. При теоретическом анализе процессов в приземном слое атмосферы мы будем исходить из общепринятой схемы потока над безграничной шероховатой поверхностью, свойства которой предполагаются достаточно однородными по горизонтали. Осредненные характеристики течения в этой схеме зависят только от вертикальной координаты . Наиболее важными характеристиками являются потоки импульса, тепла и влаги.

Поток импульса можно трактовать как напряжение турбулентного трения. Вместо турбулентного трения

, (16)

где и – пульсации горизонтальной и вертикальной компонент ветра, – плотность воздуха, а черта сверху означает осреднение, удобно рассматривать динамическую скорость

. (17)

В пределах приземного слоя и турбулентный поток тепла можно считать практически не зависящими от высоты .

Условие постоянства потоков импульса и тепла (в пределах данного допуска) может служить определением самого понятия приземного слоя. Обухов в своей работе [m] дает примерную оценку высоты приземного слоя на основе анализа возможных изменений . Исходить следует из осредненных уравнений гидромеханики в поле силы Кориолиса. Соответствующее уравнение для координаты (направление скорости ветра у Земли) в квазистационарном случае имеет следующий вид:

, (18)

где – градиент давления, – параметр Кориолиса, ­ – компонента осредненной скорости ветра по направлению оси .

Проинтегрируем обе части уравнения по высоте в пределах слоя толщиной и оценим правую часть:

. (19)

Отбрасывание члена приводит к усилению неравенства, так как сила Кориолиса частично компенсирует силу градиента давления. Вводя динамическую скорость и скорость геострофического ветра , можно записать полученное неравенство в следующей форме:

(20)

Определим так, чтобы относительное изменение в слое толщиной не превосходило допуска , т.е.

(21)

В силу неравенства (20) для выполнения (21) достаточно, чтобы

(22)

Отношение скорости трения к скорости геострофического ветра можно оценить величиной порядка 0,05:

,

откуда следует, что

.

При и получаем (м):

При допуске получаем искомую оценку высоты приземного слоя: . В пределах этого слоя можно считать практически постоянным и пренебречь действием силы Кориолиса (вращением ветра с высотой). Полученная оценка достаточно хорошо согласуется с данными наблюдений.

При различных условиях погоды значения той или иной характеристики турбулентности оказываются, вообще говоря, различными. Условия погоды в значительной степени определяются скоростью ветра и вертикальным градиентом температуры (характеризующим степень устойчивости термического расслоения воздуха). Известно, что при сильном ветре и в случае неустойчивой стратификации турбулентность оказывается много более интенсивной, чем при слабом ветре и устойчивой стратификации. Однако такая качественная характеристика зависимости турбулентности от условий погоды является, конечно, совершенно недостаточной, и нам предстоит установить количественную зависимость от условий погоды всех характеристик структуры полей скорости ветра и температуры.

Случай безразличной стратификации. Начнем с рассмотрения самого простого (но относительно редкого) случая безразличной (нейтральной) термической стратификации. В этом случае турбулентный поток тепла равен нулю и турбулентный режим приземного слоя определяется единственным размерным параметром – вертикальным турбулентным потоком импульса (т.е. напряжением трения) .

При условиях безразличной стратификации процессы турбулентного перемешивания в приземном слое могут быть описаны схемой логарифмического пограничного слоя. Соответствующие закономерности детально изучены в экспериментальной аэрогидродинамике и широко используются в метеорологии.

Вывод логарифмического закона распределения ветра осуществляется на основе гипотез подобия. Предположим, что для значений , где – высота травостоя (характерный масштаб микронеоднородностей подстилающей поверхности), статистические характеристики для относительных движений в потоке инвариантны по отношению к преобразованиям подобия , , , . При этих преобразованиях полупространство переходит само в себя, а уравнения движения остаются неизменными. Это обстоятельство является теоретическим основанием для принятой гипотезы подобия. Заметим также, что естественный масштаб скорости остается инвариантным по отношению к указанным преобразованиям. Рассмотрим стационарный режим и составим отношение разности осредненных скоростей на двух уровнях , к динамической скорости . Соответствующая безразмерная величина является функцией и и в силу предположения о самоподобии потока может зависеть только от отношения :

. (23)

Определим вид функции . Очевидно, что для трех высот

(24)

и вместе с тем

. (25)

Отсюда следует, что функция удовлетворяет функциональному уравнению

, (26)

, .

Естественным решением этого функционального уравнения является логарифмическая функция . Полагая , получаем:

, (27)

где – известная постоянная Кармана. Эта формула впервые была выведена еще около 1930 г. Л.Прандлем и Т. Карманом [n]. По эмпирическим данным [o].

Уравнение (27) можно записать в обычной дифференциальной форме, рассматривая бесконечно близкие значения и :

. (28)

Уравнения (27) и (28) не содержат характеристик подстилающей поверхности и могут быть отнесены к любой подстилающей поверхности, если выполняется условие . Вместе с тем формула (28) определяет только изменения средней скорости ветра с высотой. Определение абсолютного значения требует учета свойств подстилающей поверхности.

Предположим теперь, что наблюдения за скоростью ветра проводятся на фиксированной высоте над некоторой определенной подстилающей поверхностью. Допустим, что мы располагаем возможностью проводить независимые измерения величины турбулентного трения и, следовательно, можем в каждом отдельном случае определять . Значение может быть определено, например, из наблюдений за пульсациями и или суммарно на основании измерения напряжения трения у поверхности Земли. Последний метод практически используется при изучении турбулентного движения в трубах. В условиях атмосферы попытка применения динамического метода измерения была сделана Шеппардом [p].

Сравнение рядов наблюдений за и позволит нам определить зависимость между этими величинами. Опыт аэродинамики учит, что при больших числах Рейнолдса и «шероховатой» поверхности зависимость от имеет квадратичный характер, и, следовательно,

, (29)

где – безразмерный коэффициент, зависящий от свойств подстилающей поверхности. При фиксированной высоте «коэффициент трения» может служить объективной характеристикой свойств подстилающей поверхности, описывающей ее динамическое воздействие на поток. Однако недостаток использования заключается в том, что мы связаны с определенным выбором высоты наблюдения. Зависимость от высоты наблюдения легко установить, подставив в формулу (29). Для любых двух высот мы будем иметь

. (30)

Из уравнения (30) следует, в частности, что убывает с высотой. Потенциируя и объединяя величины, содержащие соответственно и , получаем:

, (30)

т.е. величину, не зависящую от высоты. Таким образом, величина , имеющая размерность длины, определяется только свойствами подстилающей поверхности; она носит название «динамической шероховатости». Выразим коэффициент трения через :

. (31)

Тогда на основании формулы (31) можно получить искомое распределение скорости ветра:

. (32)

Преимущество приведенного выше способа введения понятия шероховатости подстилающей поверхности заключается в том, что он опирается исключительно на свойства потока на достаточно больших высотах, где с достаточным основанием можно пользоваться универсальными законами развитой турбулентности.

Случай термически стратифицированного приземного слоя. Одной из важнейших характеристик турбулентного режима в приземном слое атмосферы является вертикальный турбулентный поток тепла

, (33)

где – удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении, – плотность, и – пульсации вертикальной составляющей скорости ветра и температуры соответственно, обусловленные прохождением через данную точку турбулентных «элементов», а черта сверху означает осреднение. Величина представляет собой среднее количество тепла, переносимое турбулентными пульсациями через единичную площадку в единицу времени. С достаточным основанием можно считать, что в приземном слое при стационарных условиях турбулентный поток тепла практически не зависит от высоты (если не рассматривать потоки лучистой энергии). Вместо величины можно пользоваться также «потоком температуры»

. (34)

Величина турбулентного потока тепла может быть определена экспериментально на основе малоинерционных измерений пульсаций температуры и вертикальной составляющей скорости ветра . Современная техника позволяет без труда проводить подобные измерения. Для исследования связи характеристик турбулентности и с распределениями средней скорости ветра и температуры воспользуемся методами подобия и постараемся установить систему минимального числа параметров, описывающих турбулентный режим в температурно-неоднородной среде.

Неоднородности турбулентного поля, носящие систематический характер (изменение температуры с высотой), оказывают определенное влияние на общий режим турбулентности (действие архимедовых сил). При условии, что температурные пульсации малы по сравнению со средней температурой слоя , уравнения динамики температурно неоднородной среды могут быть записаны в следующей форме:

, (35)

,

,

,

В этой системе и - отклонения от стандартных значений. Упрощения, сделанные при выводе системы уравнений, сводятся к пренебрежению силой Кориолиса и радиационным притоком тепла, а также к линеаризации относительно стандартного статистического распределения давления и температуры. Последнее означает, что пренебрегается изменениями плотности за счет изменений давления, и допускается, что отклонения плотности и температуры от стандартных значений пропорциональны[q]. Эти упрощения, принятые в теории конвекции, позволяют описать архимедову силу слагаемым . Таким образом, в уравнения входит размерная константа , которую в дальнейшем должны учесть при составлении критериев подобия.

Заметим, что линеаризация уравнений относительно колебаний скорости недопустима, так как при этом была бы потеряна турбулентность. Кроме того, в уравнениях опущены члены, содержащие вязкость и теплопроводность. В условиях развитого турбулентного режима эти члены следует учитывать только при исследовании очень тонких деталей микроструктуры ветрового и температурного поля. Вертикальный перенос импульса и тепла обусловлен неоднородностями некоторого «среднего масштаба», для которых непосредственное влияние вязкости и теплопроводности достаточно мало. Естественно предположить, что изменения средней скорости и температуры с высотой могут быть выражены через координату , параметр и «внешние параметры» и , причем соответствующие уравнения допускают запись в безразмерной форме и не содержат других размерных констант. Принятая нами гипотеза подобия находится в согласии с уравнениями (35) и эквивалентна предположению, что система уравнений (35), вместе с уравнениями

, (36)

,

являющимися аналогом граничных условий, однозначно определяют статистические характеристики турбулентного режима. Таким образом, три параметра: , и –можно считать исчерпывающими характеристиками турбулентности приземного слоя атмосферы. Из этих параметров можно однозначно (с точностью до числового множителя) построить масштаб температуры и масштаб длины , которые будут иметь следующий вид:

, (37)

, (38)

Полученный масштаб длины впервые был введен Обуховым в работе [r] и впоследствии назван его именем. Для определения масштаба Обухова по данным пульсационных измерений удобно представить формулу (38) в виде

. (39)