Корреляционные и структурные функции

При математической трактовке турбулентного движения удобно подразумевать, что поля метеорологических величин являются случайными полями в смысле, принятом в теории вероятностей, при этом осреднение различных характеристик случайного поля понимается как теоретико-вероятностное осреднение по множеству всевозможных «реализаций» метеорологических полей. Естественно, что для интерпретации результатов наблюдений, позволяющих обычно определить лишь простейшие временные средние значения приходится, как и всегда в статистической физике, использовать дополнительное предположение об эргодичности.

Полное описание турбулентных полей требует задания всех многомерных распределений вероятностей для значений метеорологических полей в различных совокупностях точек пространства-времени. Экспериментальные данные, однако, как правило касаются лишь значений некоторых одноточечных или двухточечных моментов распределений, т.е. средних значений произведений некоторых метеорологических полей, взятых в одной либо двух пространственно-временных точках.

Самыми важными двухточечными моментами являются двухточечные моменты второго порядка

, (2)

черта сверху здесь и всюду ниже является символом статистического осреднения.

Функция называется пространственно-временной корреляционной функцией полей и . Существуют также чисто временные или пространственные корреляционные функции

, (3)

.

Однако взаимные корреляционные функции неудобны в том отношении, что они в основном определяются относительно крупномасштабными компонентами турбулентности. Чтобы выделить вклад мелкомасштабных пульсаций, проще всего, следуя Колмогорову [j], перейти к системе координат, движущейся вместе с фиксированной жидкой частицей, и рассматривать вместо самих значений метеорологических полей разности этих значений в относительно близких пространственно-временных точках. Для этого вводится так называемая структурная функция

, (4)

характеризующая мелкомасштабную структуру полей и . Частным случаем функции (4) являются пространственные структурные функции одного поля

(5)

Другой общий метод выделения локальных характеристик турбулентности состоит в использовании преобразований Фурье. Общий пространственно-временной взаимный спектр полей и можно определить так:

, (6)

где интегрирование распространяется по всему четырехмерному пространству , . Применение преобразования Фурье от корреляционной функции также позволяет выделить локальные характеристики турбулентности. Трехмерный пространственный спектр можно получить, интегрируя по всем , одномерный пространственный спектр – интегрируя по всем и , а временной спектр – интегрируя по всему пространству волновых чисел.

Автоспектр стационарного случайного процесса c обладает следующим свойством:

, (7)

то есть интеграл спектральной плотности по всем частотам равен дисперсии случайной величины. Аналогично, для коспектра двух случайных величин и ( ) справедливо

. (8)

Для определения вклада различных частот в корреляционую функцию двух случайных стационарных процессов можно использовать спектральный коэффициент корреляции

. (9)