3. Түріндегі интегралдар, мұндағы және - тұрақты сандар.

Мысал.

23. Анықталмаған интеграл.

А) Анықтама. Егер функциясы аралығында дифференциалданса және

орындалса, онда функциясы -функциясының аралығындағы алғашқы функциясы деп аталады.

(Бұдан әрі деп аламыз. Басқа жағдайлар болса, атап көрсетеміз).

Егер функциясы -функциясының аралығындағы алғашқы функциясы болса, онда кез келген тұрақтысы үшін функциясы да -үшін -да алғашқы функция болады:

.

Б) Анықтама. функциясының аралығында анықталған барлық алғашқы функциялардың жиынтығы функциясының аралығындағы анықталмаған интегралы деп аталады және

символымен белгіленеді: интеграл белгісі, ал -интеграл астындағы функция, -интеграл астындағы өрнек деп аталады.

Егер функциясы -функциясының қандай да бір алғашқы функциясы болса, онда

деп жазу қалыптасқан.

Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттерін көрсетейік.

, -тұрақты.

Егер функциясы - функциясының алғашқы функциясы болса, онда функциясы - функциясының алғашқы функциясы болады, яғни:

24.Анықталған интегралдаудың негізгі әдістері.

А)Анықталған интегралда айнымалыларды ауыстыру әдісі. I= интегралын қарастырайық. Айталық, x=g(t) дифференциалданатын функция болсын. Сонда dx=g’(t)dt және .

Бұл әдіс айнымалыны ұтымды алмастыруға негізделген. Айнымалыны алмастыру арқылы интеграл бірден немесе бірнеше амалдардан кейін кестелік интегралға келтіріледі. Мысалдар қарастырайық.

а) +С

б) arctgt+C= = arctgx³+C

в) ln|t|+C=ln|1+lnx|+C

б)Бөліктеп интегралдау әдісі. Бұл әдіс мынадай қатынасқа негізделген:

d(uv) = udv + vdu udv = d(uv) – vdu мұндағы u=f(x) және v=g(x) функциялары туындылары бар функциялар. Теңдіктің екі жағынан да интеграл алсақ,

, осыдан .

Бұл әдісті қолданғанда u және v функцияларын интеграл интегралға қарағанда оңай алынатындай етіп таңдайды. Мысалдар қарастырайық.

а) +С = +C.

б) .

О= (сщыч+ыштч)-О О= (сщыч+ыштч)+Сю

Төмендегі интегралдар тобы тек бөліктеп интегралдау әдісімен есептелінеді:

; ; ; .

25. Дифференциалданатын функциялара туралы негізгі теоремалар:

А) Ферма теоремасы. Егер f(x) фукциясы (a, b) интервалында дифференциалданып, интервалдың x=c нүктесінде өзінің ең үлкен немесе ең кіші мәнін қабылдаса, онда f ′ (c ) =0 болады. Геометриялық мағынасы: функцияның графигіне (c,f(c)) нүктесінде жүргізілген жанама Ох осіне параллель болады. f ′ (х ) =0 болатын нүктелерді стационар нүктелер деп атайды.

В) Ролль теоремасы. Егер f(x) функциясы [a, b] кесіндісінде үзіліссіз, (a, b) интервалында дифференциалданатын және f(a)=f(b) болса, онда осы интервалда x=c нүктесі табылып, бұл нүктеде f ′ (c ) =0 болады. Геометриялық мағынасы: функция графигіне жүргізілген жанама абцисса осіне параллель болатын (a, b) интервалында нүкте табылады және бұл нүктеде функция туындысы нөлге тең болады.