17. Жоғарғы ретті туындылар және дифференцилдар.

А.Туынды ұғымы. Анықтама.Функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нолге ұмтылған кездегі шегі функция туындысы деп аталады. Әдетте оны немесе деп белгілейді: (1)

Функцияның туындысын алуды – функцияны дифференциалдау дейді.

(а;в) интервалының әрбір нүктесінде туындысы бар функцияны сол интервалда дифференциалданады дейді.

Мынадай тұжырым дұрыс болады: Егер f(x) функцисы х₀ нүктеде дифференциалданса, онда функция х₀ нүктеде үзіліссіз болады.

Бірақ осыған кері тұжырым дұрыс бола бермейді. Мысалы, y=|x| функциясы x=0 нүктеде үзіліссіз. Бірақ оның x=0 нүктедегі туындысы болмайды. Шынында да, егер бар болса, туындыны мына формуламен табар едік: .

Ал x=0 нүктеде

болғандықтан қатынастың шегі болмайды. Шекболмасатуындысы да жоқ.

Дифференциалдау ережелері. u=u(x) және v=v(x) функциялардың әрқайсысы берілгенх нүктесінде дифференциалданатын болса, онда бұл функциялардың қосындысы(айырымы), көбейтіндісі және қатынасы (v(x) 0)сол нүктеде дифференциалданады, және мына формулалар дұрыс болады:

1)

2) , C=const

3)

4) .

5. f(u(x)) күрделі функция туындысы: .

5. y=f(x) функциясынакері функция (x=f ^{- 1}(y)) туындысы: .

6. Айқынеместүрдеберілген функция, F(x,y)=0, туындысы: .

5. Дәрежелі-көрсеткіштік функция туындысы. Алдыменберілгентеңдеудіңекіжағын логарифмдейік, .

Екіжағынантуындыаламыз, .

Сонымен, .

Б)ФУНКЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ.Функция шегінің анықтамасына сүйеніп туынды табу формуласын мынадай түрде көшіріп жазуға болады: ,мұндағы - ақырсыз аз шама, яғни . Түрлендірейік, ,мұндағы - функция өсімшесінің сызықты бөлігі деп аталады және ол өсімшеге пропорционал. Ал шама екі ақырсыз аздың көбейтіндісі ретінде өсімшеге қарағанда жоғары ретті ақырсыз аз шама болады.

Анықтама. Функция өсімшесінің сызықты бөлігі функция дифференциалы деп аталады да, dy деп белгіленеді. Сонымен,

y=x функциясының дифференциалын табайық: . Демек аргумент дифференциалы оның өсімшесіне тең екен. Олай болса функция дифференциалын мынадай түрде жазамыз: (4)

Егер аргумент өсімшесі абсолют шамасы бойынша аз шама болса, онда функция өсімшесі мен дифференциалы жуық шамамаен тең болады, яғни . Түрлендірейік, . Осыдан, (5).

(5) формуламен функцияның мәнін жуықтап есептейді. Неғұрлым аз болса, соғұрлым формула дәлірек болады.

с) Жоғары ретті туынды. туындыны функцияның 1-ретті туындысы дейді. 1-ретті туындыдан алынған туынды функцияның 2-ретті туындысы деп аталады да, деп белгіленеді. Сонымен, .

Осылайша 3-ретті, т.с.с. n–ретті туындыларды анықтауға болады, , …, .

18.Функцияның экстремумдары.

А)Функцияның өсу және кемуініңқажетті және жеткілікті шартары. Анықтама.х₀ нүктесінің - маңайы табылып, (х₀- х₀+ ), осы маңайдағы барлық х х₀ үшін f(x)>f(х₀) теңсіздігі орындалса, х₀ нүктесі f(x) функциясының минимум нүктесі деп, ал f(x)<f(х₀) теңсіздік орындалса, х₀ нүктесі f(x) функциясының максимум нүктесі деп аталады. Теорема (функция өсуі мен кемуінің жеткілікті шарты). Егер (а,в) интервалында дифференциалданатын y=f(x) функциясының туындысы оң болса, онда осы интервалда функция өспелі болады, ал туындысы теріс болса, функция кемімелі болады. 1-суреттегі y=f(x) функциясы және аралығында өседі, аралығында кемиді.

у x 1-cурет

Б)функция экстремумының қажетті және жеткілікті шартары. Анықтама. Туындысы нолге айналатын не туындысы болмайтын нүктелер функцияның күдікті нүктелері (кейде І-текті күдікті нүктелер) деп аталады. Функцияның минимум және максимум нүктелерін экстремум нүктелері деп атайды. Осы нүктелердегі функция мәндерін функция экстремумдары дейді.

Экстремумның бірінші жеткілікті шарты. y=f(x) функциясы х₀ нүктесінде үзіліссіз және қандай да бір - маңайында функция туындысы бар болсын (х₀ нүктесінде туынды болмауы мүмкін). Онда,

1. егер х аргумент х₀ нүкте арқылы өткенде таңбасын оңнан теріске өзгертсе, онда х₀ нүкте максимум нүктесі болады;

2. егер х аргумент х₀ нүкте арқылы өткенде таңбасын терістен оңға өзгертсе, онда х₀ нүкте минимум нүктесі болады;

3. егер х аргумент х₀нүктеарқылыөткенде таңбасынөзгертпесе, онда х₀ нүкте экстремум нүктесіемес.

Экстремумның екінші жеткілікті шарты. y=f(x) функциясы х₀ нүктесінде үзіліссіз және қандай да бір - маңайында екі рет дифференциалдансын. Соныменқатар болса, онда

1. егер болса, онда х₀нүкте f(x) функциясының максимум нүктесіболады;

2. егер болса, онда х₀нүкте f(x) функциясының минимум нүктесіболады.

19.Функцияны туынды көмегімен зерттеу.

А)Функция графигінің дөңестігі және ойытығы.

Анықтама. y=f(x) функция графигі (а,в) интервалының кез келген нүктесінде жүргізілген жанамадан төмен жатса, онда функция дөңес (дөңестігі жоғары қараған) деп, ал жанамадан жоғары жатса, онда функция ойыс (дөңестігі төмен қараған) деп аталады.

3-суретте y=f(x) функциясының графигі аралығында дөңес болады да, ал аралығында ойыс болады. Функция дөңестігінің жеткілікті шарты. (а,в) интервалында y=f(x) функциясының екінші ретті туындысы теріс таңбалы болса, функция графигі осы аралықта дөңес, ал екінші туындысы оң таңбалы болса, функция графигі осы аралықта ойыс болады.

Б)Иілу нүктесі.Анықтама. Функция графигінің дөңес және ойыс бөліктерін бөліп тұратын нүктені функцияның иілу нүктесі деп атайды. Суретте қисық бойында жатқан (x₀, f(x₀)) нүкте графиктің дөңес және ойыс бөліктерін бөліп тұр, яғни ол функцияның иілу нүктесі болады. Иілу нүктесі бар болуының жеткілікті шарты. (а,в) интервалында екі рет дифференциалданатын y=f(x) функциясының екінші туындысы х аргумент х₀ нүкте арқылы өткенде таңбасын өзгертсе, онда (x₀, f(x₀)) нүктесі функцияның иілу нүктесі болады.

Мысал. (Гаусс қисығы) функциясының иілу нүктелері мен дөңестік аралықтарын тап.Шешуі. 1) Функция бүкіл сан осінде анықталған, яғни D(y)= .

2. Бірінші және екінші туындыларын табамыз: ;

.

3)ІІ-текті күдікті нүктелерін шартынан табамыз: . болғандықтан, . Осыдан және күдікті нүктелер табылады. Осы нүктелер анықталу облысын үш интервалға бөледі:

, , .

Осы интервалдардағы екінші туынды таңбасын анықтаймыз (4-сурет):

у 1 + - + х о йыс дөңес ойыс 0 4-сурет 5-сурет

Сонымен,функция графигі және аралықтарда ойыс, ал аралықта дөңес болады екен. Екінші ретті туынды нүктелерден өткенде таңбасын өзгертетіндіктен, бұл нүктелер функцияның иілу нүктелері болады

С)АСИМПТОТАЛАРЫ.Анықтама. Егер y=f(x) функциясы үшін және шектерінің ең болмағанда біреуі шексіздікке тең болса, онда функция графигінің тік асимптотасы деп аталады (6а-сурет).

у=kx+b түзуі y=f(x) функция графигінің көлбеу асимптотасы деп аталады, егер функцияға тиісті қандай да бір М нүкте координат басынан алыстаған сайын түзуге шексіз жақындаса (6б-сурет).

у у М y x =f(x) х 0 а 6а-сурет 6б-сурет

Көлбеу асимптотаның дербес жағдайы (k=0) горизонталь асимптота болады: y=b

Көлбеу асимптотаны мынадай теорема көмегімен табуға болады.

Теорема. у=kx+b түзуі y=f(x) функция графигінің көлбеу асимптотасы болуы үшін мынадай шектердің бар болуы қажетті және жеткілікті: , .