9, 10. наблюдается закономерное увеличение длины измеренной береговой линии с укрупнением масштаба. Причина не только в том, что двухмиллиметровый шаг циркуля соответствует всё меньшей величине на местности, но главным образом в том, что сама линия, даже если ее очень точно измерить и перевести в соответствии с масштабом в километры, действительно становится длиннее (рис. 1). На карте России у берега Ленинградской обл. угадываются лишь Выборгский залив, Невская губа и небольшие изгибы южного берега Финского залива. На карте масштаба 1 : 2 500 000 очертания Выборгского залива уже довольно сложные, а на юге ясно видны Копорская и Лужская губы. На полумиллионной карте в пределах Выборгского залива множество других мелких заливов, некоторые из которых имеют собственные имена (зал. Балтиец, бухта Ключевская), и лишь южный берег Финского залива выглядит мало изменившимся по сравнению с предыдущим масштабом, там изрезанность берега гораздо меньше.

Как же установить точную длину береговой линии? Этой целью задался английский метеоролог Ричардсон, выбрав в качестве полигона свой родной остров — Великобританию. Он и пришел к выводу об увеличении длины береговой линии с увеличением масштаба карты, по которой эту длину измеряют (рис. 2). Есть ли предел такого увеличения? Едва ли. Длину береговой линии увеличивает каждая небольшая песчаная коса, вдающаяся в море, каждая ложбинка, создающая крохотный залив, каждый камешек, который обтекает вода. Даже на самой крупномасштабной карте их не видно, между тем в действительности все эти неровности береговой линии существуют.

Приводят много примеров того, как использование математических методов позволяет сделать географические исследования более убедительными, более достоверными. Здесь же произошло обратное: географическое исследование — изучение длины береговой линии — способствовало возникновению нового математического понятия. Английское название этого понятия — fractal, по-русски же оно еще окончательно не устоялось и встречается в трех вариантах: фрактал (родительный и творительный падежи будут фрактала,фракталом), фракталь в мужском роде (фракталя, фракталем) и фракталь в женском роде (фрактали, фракталью); за последнее время, кажется, склоняются к фракталу. Фрактал — это линия, каждый фрагмент которой бесконечно усложняется, длина каждого фрагмента и всей линии постоянно увеличивается. В качестве примера можно привести фигуру, обычно называемую снежинкой Коха, хотя название это неверно: построила эту снежинку в начале ХХ в. Хельга фон Кох, и склонять ее фамилию не следует. Возьмем равносторонний треугольник. Разделим каждую его сторону на три равные части и на среднем отрезке каждой стороны построим равносторонний треугольник. Получится правильная шестиконечная звезда, фигура с шестью выпуклыми углами и шестью входящими. Разделим каждую ее сторону (а этих сторон 12) на три равные части и на среднем отрезке каждой стороны снова построим равносторонний треугольник. Получится фигура уже с 48 сторонами, с 18 выпуклыми и 30 входящими углами. Повторяя эту операцию бесконечное число раз (сделать это можно, конечно, лишь мысленно), мы получим фигуру, площадь которой постоянно увеличивается, но все медленнее, постепенно приближаясь к некоторому пределу (рис. 3). Периметр же этой фигуры увеличивается беспредельно, так как каждый раз, когда мы строим на стороне фигуры новый равносторонний треугольничек, сколь бы мал он ни был, три равных отрезка этой стороны заменяются на четыре таких же и потому длина каждой стороны (и следовательно всего периметра) увеличивается в 4/3 раза, а любое число больше единицы в степени, равной бесконечности (а построение мы делаем бесконечное число раз), стремится к бесконечности.

Граница снежинки будет представлять собой что-то вроде широкой, мохнатой линии, заполняющей собою всю приграничную область этой фигуры. Понятия «широкая линия», «толстая поверхность», казалось бы, абсурдные с точки зрения классической математики (линия там не имеет ширины, а поверхность — толщины), с развитием теории фракталов приобрели права гражданства. Считается, что линия одномерна, она имеет только длину, положение точки на ней определяется одной координатой; поверхность двумерна, она имеет площадь, положение точки на ней определяется двумя координатами; тело трехмерно, оно имеет объем, нужны уже три координаты. А теория фракталов вводит понятие дробной размерности: линия не стала двумерной, но уже перестала быть одномерной. Неподготовленному человеку это довольно трудно понять (нельзя же чихнуть полтора раза), но если мы вспомним, как ведет себя береговая линия — не только на карте, но и в природе, как она меняется, если смотреть на нее, присев на корточки, потом выпрямившись во весь рост, потом поднявшись на гору, потом взлетев на самолете или космическом корабле, мы не столько поймем, сколько почувствуем, какую сложную систему представляет собой эта линия; для нее определенно мало одной характеристики — длины. И теория фракталов, родившаяся из географических исследований, уже сама приходит на помощь географии. Еще не разработан, но определенно имеет перспективы метод изучения рельефа как фрактала. Рассматривая рельеф в общем виде, рисуя его на мелкомасштабной карте, мы видим горные хребты, плато, глубокие долины. В среднем масштабе вырисовываются уже холмы, небольшие долины, овраги. Еще крупнее — и видны кочки, ветровая рябь на песке. Но и это не предел: есть отдельные камешки, песчинки. В практическом отношении все это важно потому, что нужно научиться правильно отбирать объекты для изображения на картах разных масштабов; одна из главных ошибок составителей карт — несоответствие содержания карты ее масштабу, карта или недогружена, или перегружена. А что же все-таки делать с длиной береговой линии? Отказаться ее измерять, потому что она неизмерима? Нет, это не выход. Просто, приводя длину береговой линии, следует всегда указывать, по картам какого масштаба она измерялась, каким способом. И обязательно оговаривать при этом, учитывалась береговая линия островов или нет.Без указания масштаба карт и того, учтены острова или нет, всякие данные о длине береговой линии теряют смысл. К сожалению, даже в источниках, претендующих на сугубую солидность, можно встретить страшные нелепости. Например, известный сайт ЦРУ «The World Factbook». Здесь для каждой страны и океана приведены данные по береговой линии, но способ измерения не указан. В результате береговая линия Канады оказывается больше 200 тыс. км, Северного Ледовитого океана — 45,4 тыс. км, Атлантического — 111,9 тыс. км (данные приведены — не подумайте плохого! — с точностью до километра). Канаду считали с учетом островов, это несомненно; как считали океаны, неизвестно, но береговая линия двух из трех океанов, омывающих Канаду, в сумме меньше береговой линии одной только Канады. Для Норвегии приведена цифра 21 925 км и дано примечание: «Материк 3419 км, большие острова 2413 км, длинные фьорды, многочисленные маленькие острова и мелкие изгибы [в буквальном переводе зазубрины] береговой линии 16 093 км». В сумме получается как раз указанная общая длина береговой линии. Но вот почему берега фьордов — не часть береговой линии материка, почему длина зазубрин приплюсована к длине береговой линии материка, какие острова считать большими — обо всем этом приходится только догадываться. Совершенно бесспорные данные в этой таблице приведены только для Андорры, Австрии, Ботсваны, Венгрии, Свазиленда и подобных им стран, выхода к морю не имеющих, — написано: «0 км».

16. Поскольку сообщения случайные, то и количество информации является случайной величиной. Для того чтобы охарактеризовать источник более полно используют среднюю меру, называемую энтропией. Отсюда,  энтропия – это математическое ожидание по частным количествам информации сообщений, генерируемых источником. Безусловная энтропия источника   вычисляется по формуле

 

 [бит/сообщ.]                        (8)

 

В данную формулу подставляются значения априорных вероятностей появления отдельных символов, вычисленных в пункте 1. Отметим, что формула (8) не учитывает статистическую связь между символами, поэтому такая энтропия называется безусловной.

Энтропия является показателем средней априорной неопределенности при выборе очередного символа из источника. Выражение (8) можно рассматривать, как меру неопределенности (энтропии) состояния источника, заданного своими безусловными вероятностями.

Из выражения (8) следует, что энтропия источника равна нулю тогда и только тогда, когда одна из вероятностей   равна единице, а остальные вероятности соответственно равны нулю, т. е. когда имеет место полной определенности выбора.

С другой стороны, легко показать, что наибольшая неопределенность выбора при заданном объёме алфавита K соответствует ситуации, когда априорные вероятности всех выборов равны между собой. В этом случае энтропия равна

 

, [бит / сообщ].                                                      (9)

 

Между значениями величин энтропий, вычисленными по формулам (8) и (9), должно соблюдаться очевидное условие

 

                                                             (10)

 

Учет статистических связей между символами, последовательно выбираемых источником ведет к дальнейшему уменьшению энтропии, определяемой формулой (8), не учитывающей этой связи. На самом деле, чем больше вероятностные связи символов, тем меньше свобода выбора последующих символов, тем меньше в среднем информации приходится на каждый вновь выбираемый символ источника и тем меньше энтропия. Энтропия, учитывающая статистическую зависимость между символами, называется условной и находится по формуле

 

 [бит/сообщ],                                          (11)

где

                                            (12)

– условная частная энтропия, вычисляемая для каждого символа  . Для расчета условной энтропии по формулам (11), (12) необходимо использовать переходные вероятности  , найденные раньше в пункте 1 курсовой работы.

Как следует из вышесказанного, между условной энтропией (11) и безусловной энтропией должно соблюдаться неравенство

 

.                                                             (13)

 

По сравнению с безусловной энтропией, условная энтропия учитывает более тонкую структуру вероятностных свойств источника, поэтому, является более точной характеристикой источника. В дальнейшем, всюду, говоря об энтропии, будем иметь в виду условную энтропию.

17 Информация определяется разностью между безусловной и условной энтропиями. Это уменьшение неопределенности “знания чего-то за счет того, что известно что-то”. При этом замечательно, что информация I симметрична, т.е. I_YX=I_XY:

I_XY=H(X)-H(X|Y)=H(Y)-H(Y|X)= I_YX.

Информация всегда неотрицательна; она равна нулю, когда Х и Y независимы; информация максимальна и равна безусловной энтропии, когда между Х и Y имеется однозначная зависимость. Таким образом, безусловная энтропия – это максимальная информация, потенциально содержащаяся в системе (вариационном ряде). Заметим, что мы сказали однозначная, но не взаимно-однозначная зависимость. Это значит, что несмотря на симметрию, верхние грани I_XY и I_YX отличаются:

0 I_XY H(X), 0 I_YX H(Y).

Как это может быть? Положим, X Y (но обратное неверно). Тогда H(Y|X)=0, H(X|Y) 0, I_YX=H(Y)= I_XY. Очевидно, это возможно только когда H(X)>H(Y).

Информация – это всего лишь характеристика степени зависимости некоторых переменных, ничего более загадочного в ней нет. Зато это предельно общая характеристика. Ее можно сравнить с корреляцией, но если корреляция характеризует лишьлинейную связь переменных, информация характеризует любую связь . Тип связи может быть совершенно любым и, более того, неизвестным нам. Это не помешает рассчитать информацию, количественно сравнивать между собой разнотипные зависимости и т.д. Платой за общность является лишь невозможность, зная количество информации написать уравнение связи переменных (в отличие от того, как корреляция позволяет легко переходить к регрессии). Можно определить и совместную энтропию Х и Y по их двумерному распределению. При этом:

H(XY)=H(X)+H(Y|X)=H(Y)+H(X|Y).

Иначе говоря, энтропия субаддитивна, аддитивность (H(XY)= H(X)+H(Y)) достигается только при полной независимости X иY.

С помощью совместной энтропии можно написать выражение для информации I_XY= I_YX=I в симметричном виде:

I=H(X)+H(Y)-H(XY).

Интуитивно ясно, что включение в рассмотрение третьей переменной может лишь увеличить информацию. Это действительно так:

I_(YX)Z I_XZ, I_(XY)Z I_YZ.

Симметрия случая трех переменного описывается формулой тройной информации:

I_(XY)Z+I_XY=I_(YZ)X+I_YZ=I_(XZ)Y+I_XZ.

18При попытке оценить неопределенность непрерывной случайной величины (с непрерывным множеством возможных состояний) – появляются особенности.

• «Непрерывность» имеет смысл только для количеств, то есть объект с непрерывным множеством возможных состояний – это количественная случайная величина.

• Распределение вероятности по состояниям характеризуется в этом случае плотностью вероятности p(x).Плотность вероятности величина размерная. Размерность обратная размерности случайной величины X, так как вероятность p(x)·dx безразмерна.

Переход к безразмерной случайной величине X, проведем путем деления размерной случайной величины X* на единицу ее измерения X₀. Тогда и плотность вероятности будет безразмерной. Разобьем всю область (– ; + ) возможных значений случайной величины X на интервалы, разделенные отстоящими на равных расстояниях Δx друг от друга интервалами (x_-1; x₀;...x_k;...).

Всякий раз, когда реализуется значение x О (x_k; x_k + Δx) будем считать, что реализовалось значение x_k величины X.

Рис. 2.3

Таким образом перешли к дискретной случайной величине, которая характеризуется распределением вероятностей. Вероятность наступления какого-либо состояния равна

Очевидно, что при Δx ® 0 квантованная величина X_д будет все более и более полно отражать все свойства непрерывной величины X. С другой стороны, к величине X_д (дискретной) можно применить понятие энтропии

Устремим Δx ® 0. При достаточно малых Δx примем . Поэтому

Таким образом предел энтропии H(X_д) за счет второго члена (–log Δx) стремится к бесконечности при Δx ® 0. Убедившись в том, что непрерывные случайные величины не допускают введения конечной абсолютной меры неопределенности, введем относительную меру. В качестве стандарта для сравнения можно брать неопределенность какого-либо простого распределения, например – равномерного в интервале шириной e. Разделим интервал e также на участки Δx и подсчитаем

Будем характеризовать неопределенность непрерывной случайной величины X числом, к которому стремится разность энтропий квантованных величин X_д (случайной величины X любого распределения) и X_д;равн(случайной величины, распределенной по равномерному закону на интервале e):

.

Эта разность конечна.

Если взять за стандарт неопределенность случайной величины, равномерно распределенной в единичном интервале, то есть принять (e = 1), то

Число H_e=1(X) обычно и называют относительной энтропией непрерывной случайной величины. http://peredacha-informacii.ru/ По численному значению относительной энтропии различные источники сообщения можно сравнить между собой.

Относительная энтропия характеризуется теми же свойствами, что и энтропия дискретного источника:

1. Не зависит от конкретного содержания случайной величины.

2. Энтропия объединения двух независимых источников выражается формулой:

3. Энтропия объединения двух статистически зависимых источников:

,

где

.

4. H_e(X; Y) ≤ H_e(X) + H_e(Y).

5. Всякое сглаживание функций распределения p(X) ведет к росту H_e(X).

Рис. 2.4

H_ε1(X) < H_ε2(X).

Исключение составляет лишь то, что H_e(X) может принимать отрицательные значения, так как H_e(X) – это разность энтропий, а случайная величина X может быть распределена на небольшом интервале меньшем, чем (e = 1).

Примеры.

Подсчитайте относительную энтропию непрерывного источника, имеющего следующий закон распределения плотности вероятности случайной величины X:

1.

Рис. 2.5

H_e(x) = 0.

2.

Рис. 2.6

H_e(x) = –1;

.

3.

  Рис. 2.7

H_e(x) = 1;

.

4.

Рис. 2.8

Пусть m_x = 0; s_x = 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5;... Найти H_e(X).

20,21

Одна из таких особенностей связана с характером трафика как временного процесса, который все более и более приобретает свойства так называемых фракталов. Многие фракталы обладают самоподобными свойствами и, вообще говоря, эти понятия тесно связаны между собой. На математическом языке свойство самоподобности приводит к точному или вероятностному повторению свойств объекта при рассмотрении его в разных масштабах.  Свойство самоподобности приводит к определенным закономерностям в статистическом поведении трафика, в необходимости вероятностного рассмотрения сложных стохастических процессов, в результате чего сам трафик, как своеобразная динамическая система, хорошо описывается так называемыми «фрактальными» или хаотическими моделями. Фактически это может означать свойство трафика сохранять основные характерные черты, независимо от того, в течение каких периодов он анализируется.  Хаотическое рассмотрение самых разнообразных процессов в жизни становится в последние десятилетия, пожалуй, одним из самых привлекательных и «модных» направлений в науке. Это и процессы в биологии, и в медицине, и в математике, и в экономике, и в прогнозировании, и в телекоммуникациях. Вполне вероятно, что в будущем без хаотического подхода невозможно будет анализировать сколько-нибудь сложные системы.

31. Связь последовательности Фибоначчи и "золотого сечения" 

 

Последовательность Фибоначчм асимптотически (пpиближаясь все медленнее и медленнее) стpемится к некотоpому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иppационально, то есть пpедставляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифp в дpобной части. Его невозможно выразить точно.

Если какой-либо член последовательности Фибоначчи pазделить на пpедшествующий ему (напpимеp, 13:8), pезультатом будет величина, колеблющаяся около иppационального значения 1.61803398875... и чеpез pаз то пpевосходящая, то не достигающая его. Hо даже затpатив на это Вечность, невозможно узнать сотношение точно, до последней десятичной цифpы. Kpаткости pади, мы будем пpиводить его в виде1.618. Особые названия этому соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачиоли (сpедневековый математик) назвал его Божественной пpопоpцией. Cpеди его совpеменных названий есть такие, как Золотое сечение, Золотое сpеднее и oтношение веpтящихся квадpатов. Kеплеp назвал это соотношение одним из "сокpовищ геометpии". В алгебpе общепpинято его обозначение гpеческой буквой фи

Ф=1.618

Представим золотое сечение на примере отрезка.

Рассмотрим отрезок с концами A и B. Пусть точка С делит отрезок AB так что,

 

                                AC/CB = CB/AB или

                                AB/CB = CB/AC.

 

Представить это можно примерно так: A-----C--------B

 

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

 

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью 0,618..., если AB принять за единицу, AC = 0,382.. Kак мы уже знаем числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи.

46. Үлкен жарылыс пен Ғалам энтропиясының өсуі

Шартәрізді шоғырлардағы ең кәрі жұлдыздардың химиялық құрамы біздің әлемге 13—15 млрд жыл болғанын көрсетті.

Аспан денелері мен олардың жүйелерінің (мәселен галактикалар) эволюциялық өзгерісіне тұрақсыз құбылыстар және жарылыс процестері (жұлдыздың тұтануы, асқын жаңа жұлдыздардың жарылуы т.б.) негізгі себепші болған.

Бұдан 15 млрд жылдай бұрын алапат жарылыс біздің әлемді жасады. Кеңістікті, уақытты, барлық материяны және бізді қоршаған энергияны тудырған "Үлкен жарылыс" деп аталған табиғат өзгерісінен кейін барлық әлем пайда бо лды деп айту ақылға қонымсыз сияқты.

Әлем ерекше тез кеңею сатысын басынан өткізді. Кеңістік орасан зор мөлшерде энергия бөліп шығара отырып өзінен өзі кеңейе берді. Осы сәтте Әлем пайда болды. Ол кеңейген сәтте салқындай бастады. Алғашында Әлем белгісіз көлем мен концентрациядағы элементтерден тұрды. Осы күйде заттар өте жоғары температураға дейін қызған және кеңеюдің бірінші секундында сәуле шығарумен жылулық тепе-тендікте болды. Үлкен жарылыс кезінде жанып тұрған отты шар жан-жаққа лақтырылып, барлық бағытта шашырап кеткен. Отты энергияның жарылысы болып ол кейін салқындай келе материяға айналды. Әлем 300 мың жыл бойы өзара әрекеттесетін және барлық Әлемді біркелкі толтыратын электрондардан, протондардан, нейтрондардан және сәуле шығарудан тұрды. Әрі қарай Әлемнің кеңею процесінде заттардың тығыздығы және сәуле шығаруы, температуралары төмендеді. Температура 4000 К жеткенде соуле шығару заттармен әрекеттесуін тоқтатты. Сөйтіп, олардың әрқайсысының эволюциясы өз бетінше жүрді. Әлемнің кеңеюінің басталғанына шамамен миллион жыл өткеннен соң тұрақты атомдардың қалыптасу уақыты келді.

Жарылыстан кейінгі көптеген миллион жылдар бойы сол жарылыстың энергиясынан пайда болған жарықтан әлем жарқырап тұрды. Әлемнің пайда болуының жарылыстың сипатын дәлелдейтін деректерді ғалымдар осы уақытта да тауып жатыр. Олар:

• ғарышта Әлемнің пайда болу кезінен кездесетін қалдықты сәуле шығару аясы;

• кеңіген Әлемнің қозғалысын көрсететін галактика спектріндегі қызыл ығысу;

• ғарыш кеңістігінде гелий мөлшерінің көп болуы (Үлкен жарылыс теориясы болжап айтқандай, сутегінің 12 атомына гелийдің бір атомы сәйкес келеді. Гелийдің мұндай мөлшерін жұлдыздардың сутегін "қайта жасау" нәтижесінде өндіру мүмкін емес. Әлемнің кеңеюі басталғаннан кейінгі оныншы секундта гелий синтезделе алды, ол кезде заттың температурасы жүздеген миллион градус болған).

Үлкен жарылыстан кейін Әлем кеңейіп, салқындай бастады. Элементар бөлшектер протондар мен нейтрондарға бірігіл, ал олар өз кезегінде электрондарды қармап алып атомдар пайда болды. Атомдар әрі қарай бірігіп химиялық элементтердің кірпіштеріне айналды. Жүздеген миллион жыл бойы гравитация күштері материяны орасан зор қоймалжыңға жинап, ғарыштыңархитектурасын даярлады.

Жүздеген миллион жылдар өткеннен кейін сутегінің зор бұлттары қазір бақылап отырған галактикаға жинақталды.

Ал осы галактиканың ішіндегі аз гравитациялық өрістер сутегілерді ыстық жұлдыздарға жинады. Олардың температуралары жұлдыздың қойнауында сутегіні әлде қайда ауыр элементке айналдыратын термоядролық реакциялардың басталуына жеткілікті болды.

Шамамен 10 млрд жыл өткеннен кейін біздің галактика пайда болды. Мұнда жұлдыздар пайда болып және сөніп жатты. Жұлдыздар өздерінің ядролық отының жағып біткенше жарқырап түрды. Алып жұлдыздар өздерінің өмір сүруінің соңғы сатысында жарылады. Осы жарылатын жұлдыздар немесе аса жаңа жұлдыздар өмірдің көзі болып табылатын элементтерді, атап айтқанда, біз дем алатын оттегіні, бұлтттық етке қажетті көміртегіні, қанның құрамындағы темірді ғарыш кеңістігіне жіберді. Жарылыстан кейін газ бен тозаңнан тұратын бұлт пайда болғанда бұл элементтер гравитациялық күштің әрекетінен жиналды да, жаңа жұлдыз, яғни Күн пайда болды. Олардың жанында планеталар түзіле бастады. Бұл шамамен 4,5 млрд жыл бұрыңғы оқиға.

Жұлдыздар пайда болып жарылып жатты, жұлдыздар шоғырланып галактика құрды, жұлдыздар планеталардың түзілуіне ьқпал етті. Сондай планеталардың бірінде тіршілік иелері эволюцияны бастарынан өткізді, енді олардың ішіндегі санасы ең жоғары тұрғындары өмірдің қалай пайда болғанын түсінуге ұмтылуда.

Біздің галактика мен басқалары бірігіп көлденең өлшемі жүздеген миллион жарық жылын құрайтын галактикалардың шоғыры мен галактикалардың аса үлкен шоғырларына жинақталды. Олар барлық Метагалактика кеңістігі арқылы тізбектеліп байланысқан тәрізді. Оның көлемін кәуекті губкамен, ал проекциясын балық аулайтын тормен салыстыруға болады. Біртекті және изотропты болып табылатын үлкен масштабта пайда болған Метагалактиканың құрылымы осындай. Бұл А. Фридман теориясының дұрыс екеніне тағы бір дәлел. Қазіргі көзқарас бойынша Метагалактиканың өз алдына даму процесі шексіз, ал дүниенід ғылыми көрінісі осы негізде құрылады. Ғалымдар дүниенің қазіргі күйі жөніндегі мәліметтерге, физиканыңіргелі заңдары мен Жерде және Әлемде ашылған жаңалықтарға сүйеніп, өткен уақыттағы құбылыстарды ойша қайта құрып, Метагалактиканың болашағын анықтауға тырысады. Ғарыш материясы эволюциясының өзіндік ерекшеліктері бар. Мысалы, химиялық элементтердің пайда болу процестері жұлдыздар эволюциясының "өрлеу" дәуірінде (қарапайымнан күрделіге көшу) және "өшу" дәуірі тармақтарында да іске асатыны белгілі. Аспан денелерінің даму бағытын дәл анықтау әзірге қиын. Жұлдыздардың сирек газдардан пайда болатыны жөніндегі түсінікпен қатар академик В. Амбарцумянның жұлдыздар өте тығыз заттардан пайда болған деген теориясы да бар екені белгілі. Ұзақ жүретін эволюциялық процестермен қатар ғарыш денелерінің тез сапалы өзгерістерге ұшырайтыны да белгілі болып отыр.

47.Информация и энтропия.

Обсуждая понятие информация, невозможно не затронуть другое смежное понятие – энтропия. Впервые понятия энтропия и информация связал  К.Шеннон в 1948 [299]. С его подачи энтропия стала использоваться как мера полезной информации в процессах передачи сигналов по проводам. Следует подчеркнуть, что под информацией Шеннон понимал сигналы нужные, полезные для  получателя. Неполезные сигналы, с точки зрения Шеннона, это шум, помехи. К.Шеннон и его последователи стояли на позициях функционалистов (см. раздел 2.1). Если сигнал на выходе канала связи является точной копией сигнала на входе то, с точки зрения теории информации, это означает отсутствие энтропии. Отсутствие шума означает максимум информации. Взаимосвязь энтропии и информации нашло отражение в формуле:

                                            H + Y = 1,

где Н – энтропия, Y – информация. Этот вывод количественно был обоснован Бриллюэном [41,42].

         Для расчета энтропии Шеннон предложил уравнение, напоминающее классическое выражение энтропии, найденное Больцманом.

                           H = ∑P_i log₂ 1/P_i = -∑P_i log₂  P_i,

где Н – энтропия Шеннона, P_i  - вероятность некоторого события.

         Назвав свою функцию энтропией, Шеннон, тем не менее, предостерегал последователей от чрезмерного расширения области применения этого понятия. Более подробно о теории информации можно прочитать в специальной литературе [126, 127]. Попытаемся разобраться, что такое энтропия Шеннона и как она относится к термодинамическому понятию энтропии Клаузиуса и Больцмана.

Впервые понятие энтропии было введено Клаузиусом в 1865 г. как функция термодинамического состояния системы [230]. Эта функция имеет вид S = Q/T (Q – теплота, T - температура). Классики не связывали энтропию с информацией.

Анализ этой функции показал, что физический смысл энтропии проявляется, как часть внутренней энергии системы, которая не может быть превращена  в работу.Клаузиус эмпирически получил эту функцию, экспериментируя с газами.

       Л.Больцман (1872г.) методами статистической физики вывел теоретическое выражение энтропии S = K lnW , где К – константа; W – термодинамическая вероятность (количество перестановок молекул идеального газа, не влияющее на макросостояние системы). Энтропия Больцмана выведена для идеального газа и трактуется как мера беспорядка, мера хаоса системы. Для идеального газа энтропии Больцмана и Клаузиуса тождественны [230],  поэтому и эмпирическая функция Клаузиуса стала объясняться как мера вероятности состояния молекулярной системы. Формула Больцмана стала настолько знаменитой, что начертана в качестве эпитафии на его могиле. Сложилось мнение, что энтропия и беспорядок есть одно и тоже [199]. Несмотря на то, что энтропия описывает очень узкий класс объектов Мира (идеальные газы), ее не критично стали привлекать для описания более сложных объектов.

    Сам Больцман в 1886г. попытался с помощью энтропии объяснить, что такое жизнь. По мнению Больцмана,  жизнь это явление, способное уменьшать свою энтропию.  «Всеобщая борьба за существование это борьба против энтропии» [137]. Согласно Больцману и его последователям, все процессы во Вселенной изменяются в направлении хаоса. Вселенная идет к тепловой смерти. Этот мрачный прогноз долго господствовал в науке. Однако углубление знаний об окружающем Мире постепенно расшатали эту догму.

    Антитезой Больцману выступали эволюционисты. В частности Ч.Дарвин показал, что процессы жизни не только не деградируют, но все время усложняются [76, 70].  И если прав Больцман, то почему мы до сих пор еще живем [119,120]. 

    Первая половина XX века принесла человечеству модель рождения и эволюции Вселенной, где над деструктивными процессами преобладали процессы самоорганизации материи. Вселенная всегда самоусложнялась и этот процесс, начавшийся 15-20 млрд. лет назад, продолжается до сих пор [273]. Таким образом, считается, что в природе существуют два перехода порядок→хаос и его противоположность хаос→порядок. В изолированных системах (но не всегда [305, 306]) идет процесс перевода порядка в хаос. В открытых системах, через которые проходят созидательные потоки энергии, могут идти процессы самоорганизации  и на фоне хаоса рождается порядок. Существует и альтернативное мнение утверждающее, что порядок рождается только из предшествующего порядка [82].

     Больцман упростил Мир до предела, представив его идеальным газом, не учитывая того, что все молекулы обладают своей внутренней структурой, взаимодействуют друг с другом, находятся в поле тяжести, совершают колебательные движения и т.д.

       В расширяющейся Вселенной наблюдается тенденция не к выравниванию градиентов и потенциалов, а к расслоению. Из однородного первичного гелий-водородного облака путем гравитационного сжатия стали образовываться плотные сгустки материи: звезды, планеты. Вселенная становилась неоднородной, как по плотности, так и по температуре. Химический состав ее усложнялся. Кроме простых атомов водорода и гелия возникли в недрах звезд все элементы таблицы Менделеева. Появилась жизнь. Разве это деградация?

     Когда говорят о неоднородности какой – либо среды, имеют в виду то, что в каждой единице объема содержится одинаковое количество каких-либо элементов. Считается, что газ - это однородная среда, если рассматривать 1см  объема. Но если рассматривать и сравнивать микрообъемы, соизмеримые с размерами молекул, то окажется, что среда очень неоднородная. В одной такой единице объема может находиться одна молекула, а в другой - ни одной. Вселенная однородна в мегамасштабах, но в размерах галактик очень неоднородна.

     Как совместить рост энтропии при понижении температуры Вселенной (S=Q/T) c нарисованной картиной усложнения. Надо думать, что в погоне за математической простотой Больцман так упростил модель своего исследования, что область применения выводов осталась справедливой только в изолированных системах (для идеальных газов).

 В реальных молекулярных системах существуют два вида энергии: потенциальная (энергия связей) и кинетическая (энергия движения молекул). Больцман потенциальную энергию не учитывал. Но формула Клаузиуса, являясь эмпирической, автоматически учитывала все виды энергии. Поэтому значения энтропий Больцмана и Клаузиуса совпадают только в применении к идеальным газам, где доля потенциальной энергии невелика. Для расчетов энтропии жидкостей и твердых тел с высоким значением потенциальной энергии используют, как правило, только энтропию Клаузиуса (S=Q/T).

 Во Вселенной относительно стационарные структуры существуют только благодаря силам взаимодействия, но именно эти силы энтропия Больцмана не учитывает. Поэтому прогноз тепловой смерти Вселенной ошибочен.

  Приведем примеры. Звезда (солнце) возникает вследствие гравитационного сжатия газа (гравитационное взаимодействие). Если бы исчезла гравитация, то облако плазмы, в полном согласии с Больцманом, из-за внутреннего давления начало бы неограниченно расширяться, увеличивая беспорядок (энтропию).

 В ходе однонаправленного течения реки в потоке могут возникать вихри (организованности). Если бы вода в реке не находилась под влиянием гравитационного поля Земли (силы тяжести), то не было бы течения и вихри (упорядоченное движение) не возникали бы при этом.

  В качестве примера самоорганизации очень часто приводят эффект, обнаруженный Бенаром (1900г.). Слой масла на нагретой сковородке иногда может образовать упорядоченную структуру в виде сот (ячейки Бенара). Это результат конвекции, а она  может происходить только в поле тяжести Земли. В невесомости ячейки Бенара не возникли бы. Так что игнорирование в расчетах сил взаимодействия может исказить выводы, что и произошло у Больцмана.

 Несмотря на неоднократное напоминание в известных публикациях, что формула энтропии имеет ограниченное применение [305, 306], её все же пытаются с легкой руки Больцмана применить ко всей Вселенной. Например,  Седов А. в своей книге «Одна формула и весь мир» пытается показать универсальность понятия энтропии [233]. Биологи стремятся доказать, что все живое в ходе жизнедеятельности уменьшает свою энтропию [67,109]  и это есть признак жизни.

Понятие энтропия [305 ,28] оказалось удобным, но не очень корректным. Им продолжают пользоваться не только биологи, но и социологи. Например, Н.Алексеев  в своей статье [8] пытается применить понятие энтропии для описания функционирования некоторой организации. Он утверждает, что «эволюция экономических систем происходит за счет роста энтропии природной среды…». При этом, «чем выше внутренняя энтропия экономической системы, тем в меньшей степени она оказывает  антиэнтропийное воздействие на внешнюю среду и тем  экономичнее оказывается ее деятельность». Обратите внимание на «глубокий смысл». Чем выше энтропия, т.е. чем больше хаоса, тем экономичнее деятельность. Это ли не пример использования понятий, в которых авторы не разбираются.

      Сопоставим теперь энтропию Шеннона с энтропией Больцмана и Клаузиуса. Очевидно, что формулы Шеннона и Клаузиуса совершенно не схожи. В последней фигурирует температура, которую к теории связи никак не применишь. Но формулы Больцмана (S=KknW) и Шеннона (H=-∑P_i log₂P_i) имеют некоторое  внешнее сходство. Рассмотрим крайние случаи. Допустим, по каналу связи передается один и тот же сигнал (буква А и пауза) и никаких помех нет. Вероятность обнаружить сигнал А равна ½.Тогда H =  (1/2log₂1/2+1/2log₂1/2)=1. Это означает, что по каналу передается количество информации Y = log₂ 2 =1 бит. Смысл информации Шеннона сводится к достоверному отличию одного сигнала от другого. Например, отличию сигнала на входе канала от сигнала на выходе. Бесспорно для теории связи метод оценки достоверности сигнала, предложенный Шенноном, сыграл большую роль. Известный физик Луи де Бройль назвал энтропию Шеннона наиболее важной идеей кибернетики [14]. Сходство S и Н  в том, что стремление к равновероятности (однородности) состояний системы увеличивает обе энтропии. Но в энтропии Больцмана нет верхнего предела S. Чем больше W, тем выше S. У Шеннона H_max = 1.

     Подведем итоги. Известно три варианта энтропий. В термодинамике - это функция состояния (Клаузиус) и мера беспорядка (Больцман). В теории информации – мера достоверности передаваемой по каналу связи информации (Шеннон).        

48.Тёмная материя в астрономии и космологии — форма материи, которая не испускает электромагнитного излучения и не взаимодействует с ним. Это свойство данной формы вещества делает невозможным её прямое наблюдение. Однако возможно обнаружить присутствие тёмной материи по создаваемым ею гравитационным эффектам.

Обнаружение природы тёмной материи поможет решить проблему скрытой массы, которая, в частности, заключается в аномально высокой скорости вращения внешних областей галактик.

Введение термина «тёмная материя» обычно приписывают астроному Фрицу Цвикки, который употребил его в 1933 году в своей работе на немецком языке^[1], однако, как указывается в обзоре 2014 года^[2], Цвикки заимствовал термин у Яна Оорта, использовавшего его ещё в статье 1932 года^[3].