Кибернетика дегеніміз  басқару және байланыс жөніндегі ғылым. Бұл ғылымның қолданбалы жағын кез-келген ғылыми зерттеу бағыттарына жатқызуға болады, ал оның теориялық мәні тікелей ешбір ғылымдармен байланыспайтын, бірақ олардың бәрінде де қолданылатын жалпы басқару теориясы болып есептеледі.

Басқару  кез-келген жүйенің ажырамайтын қасиеті. Бір-бірімен байланыстағы бөліктердің жиынтығын жүйе деп атайды.

Шын мәнінде, әлем кеңістігінің өзі көптеген, бір-бірімен байланыстағы кішігірім жүйелерден тұрады. Сол себептен ”жүйе„ деген ұғымға қатаң анықтама беру оңай емес.

Жүйені күрделілік дәрежесі бойынша жай динамикалық және күрделі жүйе деп жіктейді. Тармақталған құрылымымен және көптеген ішкі байланыстарымен жай динамикалық жүйеден ерекшеленетін жүйелерді күрделі деп атайды. Сонымен қатар жүйелерді детерминді және ықтималдық деп бөледі. Құрамындағы бөліктері алдын-ала қойылған болжам бойынша өзара әрекеттесетін жүйелерді детерминді дейді. Сол себептен, детерминді жүйелерді зерттеу кезінде ешбір анықталмағандық кездеспейді. Керісінше, ықтималдық жүйелер үшін алдын-ала дәл болжам жасау мүмкін емес. Сондықтан, бұл жүйелер күрделі жүйелер қатарына, яғни кибернетика ғылымының негізгі зерттеу саласына жатады.

Мұндай жүйелерді басқару үшін реттеуіш деп аталатын басқарушы механизм қолданылады. Реттеуіш – регулятор – governor, латынның ” управляющий „ (guvernator) деген сөзінен шыққан, ал ол өз кезегінде гректің ” кибернесий „ – кормчий – (кеменің рулін ұстап отыратын кісі) деген сөзінен пайда болған.

Барлық технологиялық объектілер басқарушы құрылғысымен бірге қайсыбір автоматты жүйені құрады, ал ол өз кезегінде автоматты басқару теориясы заңдарымен талданып, синтезделеді.

Сонымен, автоматты басқару (АБТ) және реттеу (АРТ) теориясы — автоматты реттеу жүйесін талдау, синтездеу тәсілдерін және құру принциптерін зерттейтін ғылым.

Автоматты реттеу теориясында шешілетін, автоматты реттеу жүйесінің объект параметрлерін тұрақтандыру мәселесі, АБТ жалпы мәселесінің дербес түрі болып саналады.

АБТ басқару жүйесінің элементтерінің жұмыс істеу теориясымен бірге, автоматика деп аталатын, ғылымның кең тармағын құрады. Автоматика (гректің ”Автоматос„ деген сөзінен аударғанда – самодвижущийся, яғни ”өздігінен әрекет ететін„) өз кезегінде техникалық кибернетиканың бір бөлігі. Техникалық кибернетика, техникалық процестің (ТПАБЖ) және өндірістің автоматтандырылған басқару жүйесін (ӨАБЖ) құру мәселелерін қарастырады.

Автоматты басқару теориясының дамуына бірнеше атақты ғалымдар үлес қосты. Санкт-Петербург технологиялық институтының профессоры И.А.Вышнеградский 1877 жылы автоматты реттеу теориясының негізін қалады. Автоматты реттеу теориясының бұдан ары дамуы А.М.Ляпуновтың, әсіресе орыс авиациясының атасы атанған профессор Н.Е.Жуковскийдің еңбектерінде көрініс тапты. Олар автоматты басқарылатын машиналар мен механизмдерде өтетін процестердің математикалық теориясын жасады.

Қазіргі кезеңдегі АБТ дамуына академиктер Б.Н.Петров, В.С.Пугачев, А.А.Воронов, С.В.Емельянов, Я.З.Цыпкин және профессор В.В.Солодовников өз еңбектерімен елеулі үлес қосты.

Қазіргі уақытта АБТ, басқарудың жалпы теориясымен қоса, өндірісті басқаруды автоматтандыру және жетілдіру мәселелері де ерекше орын алады. Халық шаруашылығының барлық салаларына жоғары техниканы, ғылымның жетістіктерін кеңінен енгізу негізінде өндірісті өсіріп, жетілдіру Республикамыздағы негізгі мәселе болып отыр. Бұл міндетті жүзеге асыру жолында АБТ рөлі орасан зор. Өкінішке орай бұл бағытта күні бүгінге дейін бірде-бір қазақ тілінде жазылған оқу құралы жарық көрмеген. Сондықтан, белгілі орыс ғалымдарының еңбектерін және авторлардың көптеген жылдар бойы аудиторияларда оқыған лекциялық материалдарын негізге ала отыра жазылған бұл оқулықты сәйкес мамандықтар бойынша қазақша оқып жүрген студенттерге жеңілдік болсын деген ниетпен ұсынамыз.

Сөз соңында айтылар жағдай, бұл кітап қазақ тілінде тұңғыш жарық көріп отырған оқулық болғандықтан, оның кемшіліктері де болуы мүмкін. Оқулықтың авторлар ұжымы оқырмандардан келесі басылымның сапасын жақсартуға септігін тигізетін объективті пікір айтып, шынайы баға беруін зор алғыспен күтеді.

1-тарау. АВТОМАТТЫ БАСҚАРУ ТЕОРИЯСЫНДА ПАЙДАЛАНЫЛАТЫН МАТЕМАТИКАЛЫҚ АППАРАТТАР

1.1. Комплекстік жазықтық. Комплекстік айнымалылар функциясы

Н ақты және жорамал бөліктен құралған комплекс айнымалысының мәнін геометриялық түрде комплекс жазықтықтағы М₁ нүктесімен бейнелеуге болады (1.1-сурет), мұндағы х және у — нақты айнымалылар, ал j - қайсыбір символ. j символы ретінде алынады. Осыдан , , болатындығын көруге болады. Жалпы жағдайда , , , , мұндағы m = 0, 1, 2 ... . саны комплекс санның нақты бөлігі деп аталып, деп белгіленеді, ал саны комплекс санның жорамал бөлігі болады да, деп белгіленеді. болса, комплекс сан жорамал деп аталады, комплекс саны комплекс санына түйіндес комплекс сан деп аталады.

комплексі проекция тікбұрышты координата жүйесінде пен -ке тең болатын вектор түрінде кескінделуі мүмкін. Демек және айнымалылары тікбұрышты координаталары, атап айтқанда жүйенің абсцисса осі — нақты ось не осі, ал ордината осі — жорамал не осі болады.

комплекс айнымалының функциясы геометриялық тұрғыдан алғанда комплекс жазықтықта

z комплекс айнымалы тәрізді болуы ықтимал:

(1.1)

мұндағы Р (х, у) пен Q(x, y) - және нақты айнымалыларының функциясы болып табылады. Комплекс жазықтықта Р шамасы нақты ось бойымен, ал Q шамасы жорамал ось бойымен өлшенеді.

Комплекс сандарын қосу, бөлу және көбейту мына формулалармен орындалады:

;

;

Комплекс сандарды тригонометриялық түрде де жазуға болады: , мұндағы -комплекс санның модулі, ал - комплекс санның аргументі.

Эйлер формуласы бойынша комплекс санының жазылуының көрсеткіштік түрін ала аламыз:

.

1.2. Тейлор және маклорен қатарлары

Егер -тің әр мәніне -тің бір ғана мәні сәйкес келсе, онда функциясы бірмәнді болады.

Бірмәнді функцияның туындысы

.

Ал, егер берілген функцияның шегі бар болып, -тің қалай нөлге ұмтылатынынан тәуелсіз болса, онда – аналитикалық функция болып табылады. Бірмәнді аналитикалық функция голоморфты деп аталады.

Қайсыбір центрлі дөңгелектің ішінде голоморфты кез келген функциясы осы дөңгелектің ішіндегі -тің барлық нүктелерінде бір-ақ рет дәрежелік қатар түрінде бейнелене алады:

(1.2)

мұндағы — Тейлор қатары деп аталады. Егер дөңгелек центрі координат басында болса (а = 0), онда Маклорен қатары бой түзейді:

. (1.3)

1.3. Лаплас және фурье түрлендірулері

Басқарудың автоматты жүйелерінде өтпелі процестерді зерттеу әдетте әртүрлі дифференциал теңдеулерді шешуге тіреледі. Осы мақсатқа операциялық есептеулерді пайдаланса, дифференциал теңдеулерді шешу жеңілдейді.

Автоматты басқару жүйелері қозғалысының дифференциал теңдеулерін шешудің негізгі кезеңдері мынаған тіреледі:

1) t - нақты айнымалылы функциясы комплекс айнымалылы F(р) функциясына түрленеді;

2) F (р) функция үшін шешім табылады;

3) F(р) үшін табылған шешім функциясына түрленеді.

Операциялық тәсілдер негізіне Лапластың тура және кері түрлендірулері жатады. Лапластың тура түрлендіруін мына түрде көрсетуге болады:

ал кері түрлендіруін

Мұнда интегралдауды жорамал оське параллель, одан бір с > b қашықтықта жатқан кез келген түзу бойында жүргізеді, мұндағы b — функциясының өсу көрсеткіші. F (р) функциясын түпнұсқа деп аталатын функциясының кескіні деп атайды. Лаплас түрлендірулерінің қысқаша жазылатын нұсқасы да бар:

;

.

Лаплас түрлендіруінің негізгі қасиеттері:

1. Сызықтық қасиет

,

немесе

,

мұндағы a — t мен p -ға тәуелсіз тұрақты не айнымалы.

2. Ұқсастық теоремасы:

t уақыт масштабы өзгерісінің тұрақтыға көбейтіндісі кескін мен р комплекс айнымалыны осы тұрақтыға бөлгенге сәйкес келеді.

3. Дифференциалдау ережесі:

.

Түпнұсқаны t бойынша k рет дифференциалдау кескінді p ^k- ға көбейткенге сәйкес (бастапқы нөлдік шарт болғанда).

4. Интегралдау ережесі:

,

.

Егер интегралдардың бастапқы мәндері нөлге тең болса, онда түпнұсқаны t бойынша k рет интегралдау кескінді (бейнені) p ^k-ға бөлгенге сәйкес келеді.

5. Ақырлы мән туралы теорема:

Түпнұсқаның ақырлы мәні нөлдегі -ның қалпымен анықталады.

6. Бастапқы мән туралы теорема:

Түпнұсқаның бастапқы мәні шексіздіктегі -ның қалпымен анықталады.

7. Кешігу теоремасы:

.

Түпнұсқаны осі мен тұрақты шамаға ығыстыру кескінді көрсеткіштік (экспоненциальная) функцияға көбейткенге сәйкес келеді.

8. Ығысу теоремасы:

.

Түпнұсқаны -ға қатысты көрсеткіштік функцияға көбейту кескінді ығыстырғанға сәйкес келеді.

9. Ықшамдау (свертки) теоремасы:

Егер және болса, онда

мен функцияларын ықшамдау осы функциялардың кескінін өзара көбейткенге сәйкес (ықшамдау деп екі функцияға интегралдау амалын қолдануды айтады).

Лаплас түрлендіруімен байланысы бар Фурье түрлендіруін келесі екі теңдеу түрінде көрсетуге болады: