29. Даламбер теңдігінің орындалу критерийі

30. Бет,бет бойындағы қисық.Егер жазықтығының D ашық жиынында берілген функция­сының бірінші ретті дербес туындылары үзіліссіз болса, онда R³ кеңістігінің осы функция арқылы сипатталатын жиыны жатық бет деп аталады.Біз функциясын да, жиынын да бет деп, дәлірек, беті, S беті деп айта беретін боламыз.Егер теңдеуін қарастырсақ, онда біз беттердің кең класын аламыз. Бет анықтамасын координаттары немесе теңдеу­лерді қанағаттандыратын нүктелер жиыны ретінде қарастыру соншалықты ыңғайлы емес, сондықтан бетті параметрлік теңдеулер арқылы берген қолайлы, uv жазықтығының G жиынының R³ евклид кеңістігіне (1)үзіліссіз бейнелеуі бет деп аталады. теңдеу арқылы берілген бет теңдеуінің u,v параметрлерін жаңа t параметрден тәуелді десек, яғни u=u(t), v=v(t) болса, онда t-нің әрбір мәніне беттің белгілі бір нүктесі сәйкес келеді де ол белгілі бір қисықты анықтайды. Сонымен, қисық бойында u, v координаталары t параметрінің функциялары болады:u=u(t), v=v(t) (2)Бұл теңдеулер бетте берілген қисық тендеулері деп аталады. Оларды бет теңдеулеріне қойсақ, бет бойындағы қисықтың r=r(u(t),v(t))(3)параметрлік теңдеуін аламыз.

31. Беттің жанама жазықтығы жане нормалі.

r=r(u(t),v(t)) тендеу арқылы анықталған қисықтың жанамасын қарастырайық оның бағыты

Векторыарқылыанықталады,яғниолкоординаттықвекторлардепаталатынберілгеннүктеарқылыөтетінкоординаттықсызықтарғажанама векто­рыныңкөшені.Олардықысқаша (1)арқылыбелгілейміз.

Бізрегулярлықжатықбеттердіқарастырамыз. Егер (1) векторлар G аймағыныңкезкелгеннүктесіндесызықтықтәуелсізболса, яғникезкелген үшін Матрицасының рангі 2-ге тең болса, онда бет регулярлық деп аталады. Мысалы,

болса, онда регулярлық беттің әрбір нүктесінде нормаль бар, өйткені векторлары жанама жазықтықта жатады, ал - оған нормаль вектор.

Жанама жазықтықтың теңдеуі(ρ-r,n)=0(2)арқылы анықталады, мұндағы r – жанаунүктесінің радиусы, ал ρ – жанамажазықтық нүктесінің радиус-векторы.Егер бет теңдеуі z=f(x,y) арқылы берілсе,онда оның векторлық түрін былай жазуға болады. Енді осындай бетке жанама жазықтық теңдеуін жазайық. Ол үшін координаттық векторларын және (3)нормаль векторын табамыз да, (2) жанама жазықтық теңдеуіндегі -r орнына i(x-x₀)+j(y-y₀)+k(z-z₀), ал нормаль векторының орнына (3) өрнекті қойып, z=f(x,y) бетін (x₀,y₀,z₀) нүктесінде жанайтын z-z₀=f_x^’(x-x₀)+f_y^’(y-y₀) (4)жанама жазықтық теңдеуін аламыз, мұндағы дербес туындыларының мәндері (x₀,y₀) жанау нүктесінде алынады.

32. Бет бойындағы ұзындықты, бұрышты есептеуӘрбір жазықтықта коллинеар емес екі және векторлары (оларды, әдетте, репер деп атайды) координаттар жүйесін анықтайды және осы жазық­тықта кез-келген векторын былай түрінде өрнектеуге болады. Ал мұның квадраты Енді белгілеулерін енгізіп, оны

²= g₁₁₁²+2 g₁₂₁₂+ g₂₂₂²(1)түрінде жазамыз. Сонда векторының ұзындығы   тікелей (1) формуладан шығады.Егер

екі векторы берілсе, онда Сонда cos( , )= формуласын пайдаланып, r және  векторларының арасындағы бұрышты олардың координаттары мен еселеуіштері арқылы өрнектеуге болады.Егер қисық бетінің бойында берілген болса, онда оның ұзынды­ғының формуласы да реперлеріне сәйкес g₁₁, g₁₂, g₂₂ еселеуіштеріарқылы есептеледі.Шынында да, бұл қисық бойынан параметр үшін доға ұзындығын алып, оның теңдеуін түрінде жазуға болады. Ал векторының ұзындығы бірге тең болғандықтан .

Енді бұған қойсақ, онда .Егер белгілеулерін енгізсек, (14)Бұл өрнек және өрнектері арқылы оң анықталған шаршылық тұлға. Мұны бетінің бірінші шаршылық тұлғасы деп атайды. Сонымен, беттің бірінші шаршылық тұлғасы доғаның шексіз аз элементі ұзындығының өрнектеуін береді. Мұнан бетте жатқан ақырлы қисық ұзын­дығын интегралдау арқылы табамыз, яғни егер бетте қисық u = u(t), v = v(t), t₁ ≤ t ≤ t₂теңдеулері арқылы берілсе, онда оның ұзындығы

Екі қиылысатын қисықтар арасындағы бұрыш деп оларға қиылысу нүктесінде жүргізілген жанамалар арасындағы бұрышты айтады. Сонда екі қисық арасындағы бұрыш формуласынан анықталады.