24. Нелинейные дифференциальные уравнения. Устойчивость метода решения.

Уравнения, содержащие неизвестные функции и их производные в степени выше первой или каким-либо более сложным образом, называются нелинейными.

Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным. Например, линейное уравнение гармонического осциллятора   может рассматриваться как приближение нелинейного уравнения математического маятника   для случая малых амплитуд, когда y ≈ sin y.

Теоремой существования называется теорема, утверждающая, что при определенных условиях данное дифференциальное уравнение имеет решение. Встречаются дифференциальные уравнения, не имеющие решений или имеющие их больше, чем ожидается. Назначение теоремы существования – убедить нас в том, что у данного уравнения действительно есть решение, а чаще всего заверить, что оно имеет ровно одно решение требуемого типа. Например, уже встречавшееся нам уравнение dy/dx = –2y имеет ровно одно решение, проходящее через каждую точку плоскости (x,y), а так как одно такое решение мы уже нашли, то тем самым полностью решили это уравнение. С другой стороны, уравнение (dy/dx)² = 1 – y² имеет много решений. Среди них прямые y = 1,y = –1 и кривые y = sin(x + c). Решение может состоять из нескольких отрезков этих прямых и кривых, переходящих друг в друга в точках касания (рис. 2).

25. Дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальное уравнение в частных производных  — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

Размерность

Равна количеству независимых переменных. Должна быть не меньше 2 (при 1 получается обыкновенное дифференциальное уравнение).

Линейность

Есть линейные и нелинейные уравнения. Линейное уравнение представимо в виде линейной комбинации производных от неизвестных функций. Коэффициенты при этом могут быть либо постоянными, либо известными функциями.

Однородность

Уравнение является неоднородным, если есть слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.

Порядок

Порядок уравнения определяется максимальным порядком производной. Имеют значение порядки по всем переменным.

Классификация уравнений второго порядка

Линейные уравнения второго порядка в частных производных подразделяют на параболические, эллиптические и гиперболические.

Линейное уравнение второго порядка, содержащее две независимые переменные, имеет вид:

где A, B, C — коэффициенты, зависящие от переменных x и y, а многоточие означает члены, зависящие от x, y, u и частных производных первого порядка:   и  . Это уравнение похоже на уравнение конического сечения:

Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы, параболы и гиперболы, в зависимости от знака дискриминанта  , классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке:

1. — Гиперболическое уравнение,

2. — Эллиптическое уравнение,

3. — Параболическое уравнение (здесь предполагается, что в данной точке коэффициенты A, B, C не обращаются в нуль одновременно).

В случае, когда все коэффициенты A, B, C — постоянные, уравнение имеет один и тот же тип во всех точках плоскости переменных x и y. В случае, если коэффициентыA, B, C непрерывно зависят от x и y, множество точек, в которых данное уравнение относится к гиперболическому (эллиптическому), типу образует на плоскости открытую область, называемую гиперболической (эллиптической), а множество точек, в которых уравнение относится к параболическому типу, замкнуто. Уравнение называетсясмешанным (смешанного типа), если в некоторых точках плоскости оно гиперболическое, а в некоторых — эллиптическое. В этом случае параболические точки, как правило, образуют линию, называемую линией смены типа или линией вырождения.

В общем случае, когда уравнение второго порядка зависит от многих независимых переменных:

оно может быть далее классифицировано^[1] в заданной точке   по аналогии с соответствующей квадратичной формой:

Невырожденным линейным преобразованием

квадратичная форма всегда может быть приведена к каноническому виду:

При этом согласно теореме инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов   в каноническом виде квадратичной формы является инвариантом и не зависит от линейного преобразования. На основе этого и производится классификация (в точке  ) рассматриваемого уравнения:

1. Если в точке   квадратичная форма в каноническом виде имеет все коэффициенты одного знака, то уравнение в этой точке называется уравнениемэллиптического типа.

2. Если точке   квадратичная форма в каноническом виде имеет коэффициенты различных знаков, но при этом все они отличны от 0, то уравнение в этой точке называется уравнением гиперболического типа.

3. Если точке   квадратичная форма в каноническом виде имеет хотя бы один коэффициент равный 0, то уравнение в этой точке называется уравнениемпараболического типа.

В случае многих независимых переменных может быть проведена и более подробная классификация (необходимость которой в случае двух независимых переменных не возникает):

1. Гиперболический тип может быть дополнительно классифицирован на:

   1. Нормальный гиперболический тип, если один коэффициент одного знака, а остальные другого.

   2. Ультрагиперболический тип, если коэффициентов как одного знака так и другого более чем один.

2. Параболический тип может быть дополнительно классифицирован на:

   1. Эллиптически-параболический тип, если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют один знак.

   2. Гиперболически-параболический тип, если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют различные знаки. Аналогично гиперболическому типу он может быть разделён на:

      1. Нормальный гиперболически-параболический тип

      2. Ультрагиперболически-параболический тип

   3. Ультрапараболический тип, если более чем один коэффициент равен нулю. Здесь также возможна дальнейшая классификация в зависимости от знаков не равных нулю коэффициентов.

Существование и единственность решения

Существует общая теорема (теорема Коши — Ковалевской), которая утверждает, что задача Коши для любого уравнения в частных производных, аналитического относительно неизвестных функций и их производных имеет единственное аналитическое решение. Даже если решение существует и единственно, оно может иметь нежелательные свойства.

Рассмотрим последовательность задач Коши (зависящую от n) для уравнения Лапласа:

с начальными условиями:

где n — целое. Производная от функции u по переменной y равномерно стремится к 0 по x при возрастании n , однако решением уравнения является

Решение стремится к бесконечности, если nx не кратно   для любого ненулевого значения y. Задача Коши для уравнения Лапласа называется плохо поставленной илинекорректной, так как нет непрерывной зависимости решения от начальных данных.

26. Основные математические операции в С++

В С++ определены в заголовочном файле <cmath> функции выполняющие некоторые часто используемые математические задачи. Например, нахождение корня, возведение в степень, sin(), cos() и многие другие.

если мы запишем A+B, то бинарной операцией будет являться +, где a и b это два связанных операнда

Операции	Название	Пример	Описание
+	Операция сложения	А=В+С	ПРИБАВИТЬ С К В И РЕЗУЛЬТАТ ПРИСВОИТЬ А
-	Операция вычитания	А=B-C	ВЫЧЕСТЬ С ИЗ В И РЕЗУЛЬТАТ ПРИСВОИТЬ А
+-	Операция смены знака	A=-A	ПОМЕНЯТЬ ЗНАК А
*	Операция умножения	A=B*C	ПЕРЕМНОЖИТЬ В И С И ПРИСВОИТЬ РЕЗУЛЬТАТ А
/	Операция деления	A=B/C	РАЗДЕЛИТЬ В НА С И РЕЗУЛЬТАТ ПРИСВОИТЬ А
%	Операция остаток от деления	A=B%C	НАЙТИ ОСТАТОК ОТ ДЕЛЕНИЯ А НА С И РЕЗУЛЬТАТ ПРИСВОИТЬ А
++	Операция инкремента	A++	УВЕЛИЧИТЬ А НА 1
..	Операция декремента	A..	УМЕНЬШИТЬ А НА 1
POW(a,b)	Возведение в степень	Pow(2,3)=8	Возведение а в степень b