1.2 Дискриминант.

Пусть - корни многочлена , причём . Величину называют дискриминантом многочлена .

Теорема 1. .

Доказательство. По теореме 1 пункта 1.1 , где – корни многочлена . Легко проверить, что . Поэтому

.

Замечание. Несложно показать, что

.

Следствие. Дискриминант является многочленом с целыми коэффициентами от коэффициентов многочлена .

Теорема 2. Пусть и - многочлены со старшим коэффициентом 1. Тогда

,

.

Доказательство. Пусть - корни многочлена , а - корни многочлена . Тогда

.

Вторая формула доказывается аналогично.

Теорема 3. Пусть – вещественный многочлен степени , не имеющий вещественных корней. Тогда . ([3],с.34)

Доказательство. Воспользовавшись разложением

,

Легко проверить, что

.

Пусть и - пара сопряжённых корней многочлена , т.е.

.

Тогда

.

Ясно, что и . Поэтому . Требуемое утверждение теперь легко доказывается индукцией по .

Теорема 4. Пусть – многочлен с целыми коэффициентами. Тогда его дискриминант имеет вид или , где – целое число.

Доказательство. Пусть – корни многочлена . Тогда , где . Рассмотрим вспомогательную величину . Ясно, что – симметрическая функция от корней многочлена , поэтому – целое число. Кроме того,

,

где – симметрический многочлен от с целыми коэффициентами. Поэтому , где – целое число. Ясно также, что или . ([3],с.35)

1.3 Вычисление некоторых результантов и дискриминантов.

Пример 1. .

Доказательство. Воспользуемся тем, что

,

где – корни многочлена . В нашем случае и , а значит, .

Пример 2. .

Доказательство. Рассматриваемый многочлен удовлетворяет соотношению . Поэтому

.

Остаётся заметить, что .

Пример 3. Пусть . Тогда

.

Доказательство. Коэффициент при старшем члене многочлена равен 1, поэтому

,

где – корни многочлена .

Ясно, что .

Поэтому

.

Остаётся заметить, что .

Пример 4. Пусть и . Тогда

. ([3],с.36)

Доказательство. Соотношение показывает, что если требуемое утверждение верно для пары , то оно верно и для пары . В самом деле, . Таким образом, можно считать, что .

При утверждение очевидно. Если , то, поделив на , получим остаток . Поэтому

.

Легко видеть, что если , то . Остаётся применить индукцию по .

Пример 5. Пусть , , и . Тогда .

Доказательство. Из формулы

получаем

.

Воспользовавшись тем, что

,

получим

.

Остаток от деления многочлена равен , поэтому

.

Результант пары двучленов вычислен в предыдущем примере. ([3],с.37)

Глава 2. Кратные корни многочлена

2.1 Понятие корня и кратного корня.

Элемент называется корнем кратности многочлена , если делится без остатка на , но не делится на . Корень кратности 1 называется простым.([2],с.152)

Число корней многочлена степени  не превышает  даже в том случае, если кратные корни учитывать кратное количество раз.

Всякий многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один, вообще говоря, комплексный, корень (основная теорема алгебры).

Число комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени , учитывая кратные корни кратное количество раз, равно . При этом все чисто комплексные корни ( если они есть) многочлена с вещественными коэффициентами можно разбить на пары сопряжённых одинаковой кратности, таким образом, многочлен чётной степени с вещественными коэффициентами может иметь только чётное число вещественных корней, а нечётной — только нечётное. Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.[4]