8.1.3 Екі еселі интегралды геометрияда және физикада қолдану

1) Дененің көлемі: Егер D аймағында болса, онда цилиндрлік дененің (цилиндроидтың) көлемі

формуласы бойынша есептеледі. Егер D аймағында болса, онда

Мысал 5 І-ширекте орналасқан және, , беттерімен шенелген дененің көлемін есептеу керек.

Шешуі .

.

Мысал 6 беттерімен шенелген дененің көлемін есептеу керек.

Шешуі Берілген дененің бөлігін қарастырмаыз.

.

; ал, .

2) Жазық фигураның ауданы: D аймағымен шенелген жазық фигураның ауданы . Егер D облысы теңсіздіктері арқылы берілген болса, онда осы аймақтың ауданы

формуласы бойынша есептеледі. Егер D аймағын полярлық координаттар жүйесінде алсақ, яғни, болса, онда

.

Мысал 7 D: сызықтармен шенелген жазық фигураның ауданын есептеу керек.

Шешуі Сызықтардың қиылысу нүктелерін табамыз.

.

Сондықтан

.

Мысал 8 сызығымен шенелген фигураның ауданын есептеу керек болсын.

Шешуі Берілген теңдеуді полярлық координаттар жүйесіне түрлендірсек, ;

болады, сондықтан

3) Беттің ауданы: а) Егер бет тегіс бірмәнді теңдеуімен өрнектелсе, онда оның ауданы

.

D₁ – беттің Оху жазықтығындағы проекциясы.

б) болса, онда , D₂ – беттің Оуz жазықтығындағы проекциясы.

в) болса, онда , D₃ - беттің Охz жазықтығындағы проекциясы.

Мысал 9 цилиндрінің ішіндегі конус бөлігі бетінің ауданын есепте.

Шешуі Конустың теңдеуінен , Интегралдау аймағы шеңберімен шенелген дөңгелек ( , шеңбердің теңдеуі) немесе , онда

Мысал 10 және жазықтарымен қиылған цилиндр бетінің ауданын есепте.

Шешуі D: . , осыдан,

4) Жазық фигураның массасы. Оху жазықтығында тығыздығы болатын D заттық фигураны қарастырайық. Осы фигураның массасы

формуласы арқылы есептеледі. Жазық фигураның ауырлық центрінің координаттары:

.

Жазық фигураның координат өстеріне қатысты инерциялық моменттері:

, Оу өсіне қатысты,

, Ох өсіне қатысты,

, бас нүкте О(0,0) –ға қатысты

формулалары арқылы. Жазық фигураның Ох және Оу өстеріне қатысты статикалық моменттері:

формуларлары арқылы есептеледі.

Мысал 11 сызықтарымен шенелген фигураның ауырлық центрінің координаттарын табыңдар (7-сурет).

Шешуі Берілген фигура Ох өсі бойынша симметриялы, онда , сондықтан - ны табамыз. Жазық фигураның ауданын табайық.

у

-1 0 2 х

7-сурет

, .

Осыдан

.

Мысал 12 (х,у)=1 деп алып кардиоида сызығымен шенелген фигураның инерция моментін Ох өсіне қатысты есепте.

Шешуі болғандықтан . Полярлық координаттар жүйесіне көшейік: , сонда

8.2 Үш еселі интеграл. Анықтамасы және оның негізгі қасиеттері

Кеңістіктегі кубтелетін V аймағында үзіліссіз функциясы берілсін. V аймағын көлемдері болатын n бөліктерге бөлшектейміз. V аймағы және элементар облыстардың көлемдері де солай белгіленеді деп ұйғарайық. Әрбір бөлік бойынан қалауымызша кез келген нүктесін алып, бұл нүктедегі берілген функциясының мәнін көлеміне көбейтеміз де, қосынды

(8.9)

құрастырып, оны интегралдық қосынды деп атаймыз. бөліктің диаметрін , ал диаметрлерінің ең үлкенін деп белгілеп, интегралдық қосындысының шегін қарастырайық.

Анықтама Егер ұмтылғанда (8.9) интегралдық қосындының шегі бар болып және ол шек V аймағын бөліктерге бөлшектеу тәсілінен де, олардың әрбіреуінен нүктесін қалап алу әдісінен де тәуелсіз болса, онда бұл шек функциясының V аймағы бойынша алынған үш еселі интеграл деп аталады да, былай белгіленеді:

Теорема 1) Тұйық, шенелген, кубтелетін V аймағында үзіліссіз әрбір функция осы V аймағы бойынша интегралданады. 2) Тұйық, шенелген, кубтелетін V аймағындағы көлемі нөлге тең қандайда болмасын бір жиынның нүктелерінен тыс жерде үзіліссіз функция осы аймақ бойынша интегралданады.

Үш еселі интегралдың негізгі қасиеттері:

1) Егер с – тұрақты, ал функциясы V аймағында интегралданса, онда көбейтіндісі де интегралданады және мына теңдік орындалады

2) Егер V аймағында функцияларының әрқайсысы интегралданса, олардың алгебралық қосындысы да V аймағында интегралданады және мына теңдік орындалады:

3) Егер V аймағында интегралданатын функция болса, онда

болады.

4) Егер функция ортақ ішкі нүктелері жоқ V₁ және V₂ аймақтарында интегралданса, онда осы аймақтардың біріктірмесі болатын V аймағында да интегралданады және мына теңдік орындалады.

.

5) V аймағында пен функцияларының әрқайсысы интегралданатын болып және олардың арасында теңсіздігі орындалса, онда

.

6) Егер функциясының абсолют шамасы V аймағында интегралданса, онда функцияның өзіде осы аймақта интегралданады және

теңсіздігі орындалады.

7) V аймағында интегралданатын функциясы осы аймақта теңсіздігін қанағаттандырса, онда

теңсіздігі орындалады.