8 Дәріс. Дискретті кездейсоқ шамалардың кейбір үлістірімі Дискретті кездейсоқ шамалардың үлестіру заңдары
Тәжірибе
нәтижесінде кездейсоқ Х
шамасы
мәндерінің бірін қабылдап, яғни қос
–қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық
тобын жасайтын
оқиғаларының бірі пайда болсын. Бірақ
бұл жеткіліксіз. Өйткені
мәнін қандай ықтималдықпен қабылдайтынын
да білу қажет. Бұл оқиғалардың
ықтималдықтарын сәйкес
арқылы белгілейміз, яғни
оқиғалардың толық тобын жасағандықтан,
яғни кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндері ықтималдықтарының қосындысы бірге тең. Бұл ықтималдықтар қандай да бір жолмен -дің дербес мәндеріне үлестіріп таратылып отыр.
Сонымен, кездейсоқ шама мәндерімен оларға сәйкес ықтималдықтарды байланыстыратын ереже дискретті кездейсоқ шаманың үлестіру заңы делінеді. Бұл заң таблица, график немесе формула түрінде өрнектелуі мүмкін.
І. Үлесіру таблицасы
Кездейсоқ шама мәндері |
Х |
Х1 |
Х2 |
... |
Хn |
қосынды |
Кездейсоқ шама мәніне сәйкес ықтималдық |
|
P1 |
P2 |
... |
Pn |
|
1-мысал. Екі ойын кубы ұпайлары қосындысының ықтималдықтарының үлестіруін көрсету керек.
1-куб ұпайлары |
2-куб ұпайлары |
|||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
(1,1) |
(1,2) |
(1,3) |
(1,4) |
(1,5) |
(1,6) |
2 |
(2,1) |
(2,2) |
(2,3) |
(2,4) |
(2,5) |
(2,6) |
3 |
(3,1) |
(3,2) |
(3,3) |
(3,4) |
(3,5) |
(3,6) |
4 |
(4,1) |
(4,2) |
(4,3) |
(4,4) |
(4,5) |
(4,6) |
5 |
(5,1) |
(5,2) |
(5,3) |
(5,4) |
(5,5) |
(5,6) |
6 |
(6,1) |
(6,2) |
(6,3) |
(6,4) |
(6,5) |
(6,6) |
Сонда үлестіру таблицасы төмендегідей болады.
Ұпай саны |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
қосынды |
ықтималдығы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2-мысал. Оқушылардың математикалық кешіне арналған жиында лотерея ұйымдастырылды. Онда 100 лотерея билеті сатылған. Лотереяда үш түрлі деңгейде ойналады: 50-і 1 тенгеден, 10-ы 2 тенгеден, 5-еуі 3 тенгеден тұрады. Бір билет алған оқушы ұтысының үлестіру заңын анықтау керек.
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
қосынды |
Р |
0,35 |
0,5 |
0,1 |
0,05 |
1 |
3-мысал. Атқыштың нысанаға тигізу ықтималдығы р-ға тең. Атқыш қашан нысанаға тигенше оқ атады, нысанаға тиісімен ату тоқтатылады. Үлестіру кестесін құру керек.
|
1 |
2 |
3 |
... |
п |
... |
|
р |
|
|
|
|
|
.
ІІ. Үлестіру көпбұрышы.
Енді
кесте түрінде келтірілген кездейсоқ
шама үлестіруін график түрінде де
көрсетуге болатынын қарастырайық. Ол
үшін абсциссалар осі бойына Х кездейсоқ
шамасы мәндерін, ординаталар осі бойына
сәйкес ықтималдық
мәндерін саламыз. Сөйтіп ықтималдықтар
үлестіруінің графигін жасаймыз. Ол екі
түрде көрсетіледі.
Енді үлестіру заңының формула түрін қарастырайық. Биномдық, пуассондық, геометриялық үлестірулерді қарастырайық.
1. Биномдық
үлестіру
формуласымен берілетінді, мұнда
.
1-мысал. Оқушы бір-біріне ұқсас емес үш есеп шығарады. Оқушының әрбір есепті шығару ықтималдығы бірдей және ол 0,6-ға тең. Әрбір шығарылған есеп үшін оқушыға 5 ұпайдан есептейді. Шығарылған есептердің үлестіру кестесін анықтау керек.
Шешуі: Х арқылы ұпай санын белгілейік.
Х
–тің мәндері:
болады.
Бернулли формуласы бойынша
:
.
;
;
Х |
0 |
5 |
10 |
15 |
қосынды |
|
0,064 |
0,288 |
0,432 |
0,216 |
1 |
2.
Пуассондық үлестіру.
формуласымен өрнектеледі.
3.
Геометриялық үлестіру.
формуласымен өрнектеледі.