6 Дәріс. Бернулли, Лаплас және Пуассон формулары

Муавр-Лапластың шектік интегралдық формуласы теория мен практикада ерекше орын алады. Алдымен мынадай қасиеттерін келтірейік:

1⁰. (8)

теңдігінің орындалуын дәлелдейік.

Д/уі: теңсіздігін өзіне пара-пар теңсіздіктермен ауыстыруға болады, бірақ бұдан ықтималдық мәні өзгермейді. Сонда , не болады. Бұдан . Сонда

,

Олай болса, (7) формуладан (8) формуланы аламыз.

2⁰. (9)

теңдігінің орындалуын дәлелдейік.

Д/уі: теңсіздігінен екені шығады. Олай болса, орнына -ді қойып, 1⁰-қасиеттен (9)-формуланы аламыз. Енді мынадай енгізулер жүргізейік:

(10)

(11)

мұндағы р-ны сенімділік ықтималдық (доверительная вероятность или надежность), п-ді сынау (таңдама көлемі), -ді абсолюттік қате (дәлдік) деп атайық.

Сонда (11) формуласы көмегімен төменде келтірілген үш типті есептер шешіледі.

1-есеп. Әрбір сынаудағы ықтималдық р тұрақты болып, берілген қате , сынау саны п бойынша сенімділік ықтималдық р-ны анықтаймыз. Ол үшін (11) теңдігінен х-тің мәнін табамыз, одан соң таблицадан –ті анықтап, екіге көбейтеміз.

2-есеп. Берілген р, сынау саны п, сенімділік ықтималдық р бойынша қате –ды мына формуламен табамыз:

(12)

мұндағы х-ті анықтау үшін р-ны екіге бөліп, таблицадан мәнін табу жеткілікті.

3-есеп. Берілген р, қате , сенімділік ықтималдық Р бойынша сынау саны п-ды мына формуламен табамыз:

(13)

мұнда да х-тің мәні 2-есептегідей анықталады.

7 Дәріс . Дискретті кездйсоқ шама және олардың сипаттамалары

1. Бернулли формуласындағы үлкен сандар заңы

2. Пуассонның шектік теоремасы

Бернулли формуласындағы үлкен сандар заңы

Теорема. Әр қандай үшін сынау саны п мейлінше үлкен болғанда теңсіздігінің ықтималдығы бірге ұмтылады, яғни

.

Д/уі: Теореманы дәлелдеу үшін теңдігінің екі жағынан болғанда шек аламыз. Сонда болады. Өйткені -ның кез келген тиянақты мәнінде , ал Лаплас функциясының 3⁰ қасиеті бойынша д.к.о.е.

Бұл теорема салыстырмалы жиілік , сынау көлемі п және сенімділік ықтималдық р мәндері бойынша ықтималдық р-ны бағалайтын интервалды анықтауға мүмкіндік береді. Оны мынадай жолмен табамыз:

теңсіздігінен болады немесе екені шығады, мұндағы -тің мәні тәжірибеден алынады, ал -нің мәні былай табылады:

.

Пуассонның шектік теоремасы

Р-ның мәні 0-ге не 1-ге мейлінше жуық болмағанда және жағдайда Лаплас формуласының жуық асимптотикалық формула болатынын көрдік. болған жағдайдың ерекше мәні бар. Бұл жағдайда мына теорема орын алады.

Пуассон теоремасы. А оқиғасының әрбір сынауда пайда болу ықтималдығы болса ( -тұрақты және п-нен тәуелсіз), онда өзара тәуелсіз п сынаудан құрылған серияда А оқиғасының дәл т рет пайда болу ықтималдығы

яғни ; мұндағы .

Бұл асимптотикалық формула өте сирек пайда болатын оқиғаларға тән заң. Мұны Пуассон формуласы немесе Пуассон заңы деп атайды.