8.Сыртқы дифференциялдық тұрпаттарды интегралдау. Мысал.
Rn
–
дегі Mk
–
өлшемді тегіс көпбейненің бойында
-ретті
сыртқы дифференциалдық тұрпаты берілсін.
Мақсат:
тұрпаттың M бойынша интегралын есептеу.
Басқаша айтқанда, келесі өрнектің
мәнін
табу қажет.
Мысал.
Бірлік шеңбер бойынша
тұрпаттың интегралын есептейік. Ол үшін
бірлік шеңбердің бір картасын
таңдайық. Бұл карта бір нүктесіз бірлік
шеңберге сәйкес. Сондықтан берілген
тұрпаттың таңдаған карта бойынша
интегралына тең болады, себебі бір нүкте
интегралдың мәніне әсер етпейді.
Интегралдарды есептегенде негізгі пайдаланылатын формула
=
Яғни
М-ді оның
бейнесіне,
тұрпаты
жаңа тұрпатқа
ауысқанда интегралдың мәні сақталады.
Аталған формула бойынша
Оң жағындағы интеграл анықталған интеграл деп аталады және оны әдетте келесі түрде
Белгілейді. Бұл интегралдың мәні нөлге тең, сондықтан жауабы нөлге тең болады.
Мысал:
Сфера
бойынша
тұрпаттың
интегралын есептейік. Ол үшін сфераның
бір картасын
Таңдайық. Бұл карта жартылай шеңберсіз сфера. Сондықтан, берілген тұрпаттың сфера бойынша интегралы берілген тұрпаттың талдаған карта бойынша интегралына тең болады, себебі жартылай шеңбер екі еселі интегралдың мәніне әсер етпейді.
Жоғарыда келтірілген флормула бойынша
Қорытынды:
Тұрпаттардың көпбейнелер бойынша
интегралдары келесі формуланың
Көмегімен есептеледі. Бұл жердегі оң жағындағы өрнек – еселі интеграл.
9.Стокс
Формуласы
Жалпы
Стокс формуласы деп келесі формуланы
айтады.
Бұл формула математикалық тандау мәнінде
дәлелденеді. Бұл жерде
дегеніміз
-
дің бағытталған шеті және бағыты
көпбейненің бағытымен келісілген.
дегеніміз
тұрпаттың
сыртқы дифференциалы.
3.11
ℝ3-
тегі Стокс формуласы
Бұл нүкте
М2
деп ℝ3
–гі екі өлшемді тегіс көпбейнесі болсын.
𝜕М2
бетінің шекарасы және оның бағыты М2-
нің бағыттымен келісілген. Енді ℝ3
бірінші ретті сыртқы дифференциалдық
тұрпат.
мұндағы
ɑ1,ɑ2,
ɑ3
– скаляр функциялар.
Аталған скаляр
вектор құраймыз.
Сонда
-ға
тұрпаты сәйкес келеді. Бұл бір мәнді
сәйкестік.
тұрпатың дифференциалы
болады.
Демек оның дифференциалы
-ның
роторымен анықталады. Олай болса Стокс
формуласы келесі түрде
жазылады
және ℝ3-гі
Стокс формуласы деп аталады.
Гаусс
формуласы
Бұл
пункте Стокс формуланың дербес жағдайына
назар аударамыз.
деп
-гі үш өлшемді тегіс көпбейнені белгілейік.
Физикада
дене деп айтады. Онда
дененің шеті немесе шекара беті. Әдетте
-тің
бағыты сыртқы нормаль арқылы анықталады.
Енді
екінші ретті сыртқы дифференциалдық
тұрпат қарастырайық.
мұндағы
- скаляр функциялар.
Аталған
скалярдан вектор құраймыз.
Сонда
-ға
тұрпаты сәйкес болады. Екінші жағынан
тұрпаты бойынша
табуға болады. Демек векторлармен
тұрпаттардың арасында бір мәнді сәйкестік
бар.
яғни ол сәйкестікті
деп белгілейміз.
тұрпаттың дифференциалын
есептейік.
Демек оның дифференциалы
-ның дивергенциясымен анықталады. Олай
болса, Стокс формуласы келесі түрде
жазылады
және Гаусс формуласы немесе заңы деп
аталады. Бұл Гаусс заңының интегралдық
түрі. Енді Гаусс заңының дифференциалдық
түрін қорытып шығарайық.
Ол үшін
-ті шар деп алайық және ол шардың радиусы
нөлге ұмтылсын. Олай болса Гаусс заңы
қандай түрде жазылады ?
Егер радиус
нөлге ұмтылса онда интегралдың орта
мәні туралы теоремадан
мұндағы
-шардың
көлемі,
- дивергенцияның мәні.
Егер R
0,
онда
шығады.
Енді
өрнегінің мағынасын түсіндірейік.
векторы жылдамдық сипаттасын. Онда бұл
интеграл
тұйық беттен өтетін ағындыны көрсетеді
(25-сурет):
23-сурет
1-секунтта
қанша сұйық
-ге
кіріп шықты деген сұраққа жауап береді.
Сондықтан
көзі бар нүктелерде нөлге тең болмайды,
себебі кірген сұйықтың балансы шыққан
сұйықты көлеміне тең емес.
векторлық
өрістің көзі жоқ жерледе
нөлге тең.
Грин
формуласы
Бұл пункте Стокс формуласының тағы
бір дербес жағдайына назар аударамыз.
деп
екі өлшемді тегіс көпбейнені белгілейік.
Геометрияда
пішін деп аталады. Онда
пішінінің шеті немесе шекара қисығы.
Әдетте
-нің
бағыты жанама векторлары арқылы
анықталады. Енде
бірінші ретті сыртқы дифференциалдық
тұрпат қарастырайық.
мұндағы
- скаляр функциялар.
Бұл тұрпаттың
дифференциалы
болады. Сондықтан Стокс формуласы бұл жағдайда келесі түрде
Бұл формула Грин формуласы деп аталады.