7.Сыртқы дифференциалдық тұрпаттарға қолданылатын амалдар: көбейту, дифференциалдау, айнымалыларды ауыстыру. Мысал.

Сыртқы дифференциалдың тұрпаттардың сыртқы көбейтіндісі

Бірінші ретті сыртқы дифференциалдық тұрпаттардың базисі

, ал

екінші ретті сыртқы дифференциалдық тұрпаттардың базисі

деп белгіленеді. Бұл жерде

,

яғни анықтауыштың элементтері проекциялардың ұзындықтары.

Енді үш көбейіткіштен тұратын тұрпаттарды қарастырайық. Мысалы:

Бұл анықтауыштың геометриялық мағынасы: жанама векторлардан құралған призманын 0 кеңістігіне проекциясының көлемі.

Деп сол сияқты деген көбейтінділерді енгізуге болады.

Жаттығу 4. Егер i, j , k индекстері ішінде кемінде екеуі өзара тең болса, онда

Дәлелдеуі. Себебі анықтауыштың екі бағаны өзара тең болады.

Жаттығу 5. Келесі көбейтіндіде екі көбейткіштің орындары өзара ауысса, онда көбейтіндінің таңбасы қарама-қарсыға ауысады.

Қорытынды: Осы пункте базистік тұрпаттарды көбейтіп үйрендік, олай болса кез келген тұрпаттарды көбейтуге болады.

Мысал: Егер

,

болса, онда олардың сыртқы көбейтіндісі

) ( =-56 =

=56 =

=-56

болады. Бұл жерде , тағы сол сияқты теңдіктерді ескердік.

Қорытынды: Жалпы -ретті сыртқы дифференциалдық тұрпаттар келесі түрде

1

Жазылады және оларды өзара қосуға, көбейтуге болады. Болашақта -ретті тұрпатты бірінші ретті, екінші ретті тұрпаттар.

Сыртқы дифференциалдық тұрпаттардың дифференциалдары

Бұл сұрақта сыртқы дифференциалын есептеуге көшейік. Бірінші ретті тұрпаттың дифференциалын анықтайық.

Мұндағы -скаляр функциялардың дифференциалдары. Мысалы,

,

Яғни, -бірінші ретті сыртқы дифференциалдық тұрпат.

Қорытынды: к-ретті сыртқы дифференциалдық тұрпаттың дифференциалы к+1 ретті сызықты тұрпат.

Сыртқы дифференциалдық тұрпаттағы айнымалыларды ауыстыру

Кейде көпбейнедегі бір картадан екінші картаға көшуге қажет. Басқаша айтқанда, бір координаттар жүйесінен екінші координаттар жүйесіне ауысуға тура келеді. Егер көпбейне бойынша сыртқы дифференциалдық тұрпаты берілсе, онда тұрпатқа кіретін айнымалылары ауысады. Басында тұрпат кеңістігінде х-тер арқылы өрнектелсе кейін тәуелді болады. Енді х айнымалыларынан у айнымалыларына көшу формулаларын көрсетейік.

болатын кезде келесі түрде жазылады:

.

M көпбейне бір картасын

Қарастарайық тұрпаты М-нің бойында берілген. Ендігі мақсатымыз таңдаған карта бойынша (a,b) интервалына көшу. Онда тұрпаты өзгереді және (a,b) интервалында жаңа тұрпат шығады. Ол тұрпатты әдетте

Басқаша айтқанда, -тердің орнына ( , ) функцияларын қоямыз және , дифференциалдары ретінде ашып жазамыз. Енді х екі өлшемді тегіс көпбейненің бойында жатқан нүкте болсын. Олай болса, тұрпаты k=2, n=3 болатын кезде келесі түрде

жазылады. М көпбейненің бір картасын

қарастырайық. тұрпатты М-нің бойында берілген. Ендігі мақсатымыз таңдаған карта бойынша -жазықтығына көшу. Онда тұрпаты өзгереді және -жазықтығында жаңа тұрпат шығады. Әдетте ол тұрпатты деп белгілейді. тұрпатты енді -ға тәуелді болады. Ол тұрпат келесі формула арқылы есептеледі.

мұндағы + Дәл осы дифференциалдарда осыған ұқсас ашып жазылады.

Басқаша айтқанда, , -тердің орнына ( , ) функцияларын қоямыз және , дифференциалдар екенін ескереміз.