21.Бірінші ретті дербес туындылы квазисызықты теңдеу үшін Коши есебінің шешімі

(1)

теңдеуді қарастырайық. Мұндағы a, b, c - x, y , u –дан тәуелді берілген облыста үзіліссіз бірінші ретті дербес туындысы бар және шартты қанағаттандыратын функциялар.

(1) теңдеуінің шешімі геометриялық тұрғыда (x, y , u) кеңістігінің беті болып табылады. Бұл бетті біз интегралдық бет деп атаймыз.

a(x,y,u) , b(x,y,u), c(x,y,u)- функциялары (x,y,u) кеңістігінде бағыттар өрісін анықтайды, нақтырақ айтқанда, осы кеңістіктің әрбір бекітілген нүктесінде біз бағыттаушы косинустары a, b, c -ға пропорционал болатын бағыт аламыз. Осы бағыттар өрісіне сәйкес интегралдық қисықтар

(2)

қарапайым дифференциалдық теңдеумен белгіленеді және сипаттаушы қисықтар немесе (1) теңдеудің сипаттаушысы деп аталады. Егер сипаттаушы қисық бойымен өзгеретін жаңа s- параметрін енгізсек, онда (2) дифференциалдық теңдеу

(3)

түрге келеді.

p ,q, (-l) шамалары интегралдық бетке нормальдың бағыттаушы косинустарына пропорционал және (1) теңдеу интергралдық бетке нормальдың өріс бағытына перпендикулярлық шартын кескіндейді, яғни (1) теңдеу интегралдық беттің әрбір нүктесінде жоғарыда көрсетілгендей етіп анықталатын бағыттар өрісінің бағыты, осы бетке жанама жазықтықта жату талабына әкеледі.

бет (1) теңдеудің сипаттаушылыры арқылы құралған болса, онда осы беттің әрбір нүктесінде, осы нүкте арқылы өтетін, сипаттаушыға жүргізілген жанама бетке жүргізілген жанама жазықтықта жатады, демек бұл бет (1) тіңдеудің интегралдық беті болады. Керісінше, егер (1) тіңдеудің интегралдық беті болса, онда оны сипаттаушы жиынымен өрнектеуге болады. Шынымен де, кез келген интегралдық бетте (1) теңдеуді

дифференциалдық теңдеу көмегімен бірпараметрлік қысықтар жиынымен жазуға болады. Әрбір қисық бойында (1) теңдеу көшеді. Осыдан қарастырылып жатқан қисықтар жиыны (3) теңдеуді қанағаттандырады және сипаттаушы кисықтардан тұрады. (3) дифференциалдық теңдеудің шешімі x, y, u- дің s=0 кезіндегі бастапқы мәндерімен анықталады. Бұның барлығын қорытындыласақ: интегралдық бетпен ортақ нүктесі бар кез келген сипаттаушы қысық түгелдей осы инегралдық бетте жатады.

Коши есебі.

Кеңістіктегі l қисығы

параметрлерік теңдеуімен берілсін, мұндағы деп қисығының жазықтығындағы проекциясы болсын.

(1) теңдеу үшін Коши есебінің қойылуы: проекциясының аймағында берілген қисығы арқылы өтетін (1) теңдеудің интегралдық бетті табу керек, яғни қисығының нүктелерінде берілген мәндерді қабылдайтын (1) теңдеудің шешімін табу керек.

алғашқы функциялары қарастырылып отырған аймақта (облыста) үзіліссіз дифференциалданады деп ұйғарамыз.

Коши есебін шешу үшін қисығының әрбір нүктесі арқылы характеристика (сипаттаушы) жүргіземіз, яғни (3) жүйенің интегралдық қисығын;мұны қисығының қайсыбір аймағында бір ғана тәсілмен орындауға болады. Біз t параметріне тәуелді сипаттаушы қисықтар жиынтығын аламыз.

(4)

Біздің ұйғарымыз бойынша (4) функциялардың s және t бойынша үзіліссіз бірінші ретті туындылары бар. (4) қисықтар бетін құрайды, егер (4) теңдеулердің алғашқы екеуінен s және t- ны x және y арқылы өрнектесек. Ол үшін қисығында

(5)

Якобиан нолге тең болмауы жеткілікті.

Егер қисығында шарты орындалса, онда u,x,y-ке тәуеді функция. Бұл функцияның (1) теңдеудің шешімі болатынын оңай байқауға болады. Шындығында, күрделі функцияны дифференциалдау ережесін және (3) теңдеулерді пайдаланып

теңдігін аламыз. Бірақ , ендеше, (1) теңдеуді қанағаттандырады. Коши есебінің шешімі біреу ғана болатындығы интегралдық бетпен бір ортақ нүктесі бар сипаттаушы қисық осы етте түгелімен жататындығынан шығады. Бұл дегеніміз, қисығы арқылы өтетін кез келген интегралдық бет, осы қисығы арқылы өтетін сипаттаушылар жиынтығын қамтиды деген сөз. Ендеше, бетімен беттеседі.

Егер барлық қисығы бойында және қисығы арқылы өтетін бірінші ретті туындылары үзіліссіз интегралдық беті бар болса, онда бұл қисықтар сипаттаушылар болуы керек. Бұл уықытта қисығында t параметрін осы қисық бойында

теңдігі орындалатындай етіп таңдап алуға болады. Енді өрнектерін -ке қойып, мұнан соң, t бойынша дифференциалдасақ, онда

теңдеу аламыз. Мұнан, (1) теңдеудің шешімі екенін ескеріп, теңдігін аламыз. Демек, сипаттаушы қисық болғаны. Бірақ сипаттаушы болса, онда ол арқылы бір емес шексіз көп интегралдық бет өтеді. Шындығында, қисығының кез келген нүктесі арқылы сипаттаушы бола алмайтын қисығын жүргізіміз. арқылы өтетін интегралдық бет сипаттаушысын міндетті түрде қияды. Сөйтіп, сипаттаушысы үшін Коши есебінің шешімдерінің жиыны қисықтар жиынымен анықталады. Осы жиынның қисықтары арқылы өтетін барлық интегралдық беттер, сипаттаушын қамтиды. Демек, сипаттаушылар интегралдық беттердің қиылысу сызықтары болады, ал сипаттаушы емес қисық арқылы бірден артық интегралдық қисық өте алмайды. Нәтижесін теорема түрінде тұжырымдаймыз.

Теорема. Егер бастапқы қисығы бойында болса, (1) теңдеу үшін Коши есебінің шешімі тек біреу ғана болады. Егер қисығы бойында болса, онда Коши есебінің шешімі болу үшін, қисығы сипаттаушы болуы керек. Бұл жағдайда Коши есебінің шешімі шексіз көп болады.