19.Бірінші ретті дербес туындылы теңдеу. Характеристикалары. Қалалық транспорттың қозғалыс теңдеуі

Бірінші ретті дербес туындылы теңдеу ұғымы туындыдан кейін пайда болған, яғни XVIII ғасырда қалыптасқан. Бұл теңдеулерді жай дифференциалдық теңдеулер сияқты шешу үшін,оған сәйкес характеристикалық жүйе құрамыз. Сызықты емес бірінші ретті теңдеу келесі түрге ие

(1)

Егер (1) теңдеудің шешіміu(x) болса,онда функциясы квазисызықты емес теңдеуді қанағаттандырады. Біз функциясын екі рет үзіліссіз дифференциалдасақ (1) теңдеудің u(x) шешімі мына түрге келеді

.

теңдеуін бойынша дифференциалдасақ

-ға қатысты квазисызықты теңдеу аламыз

Бұл теңдеу үшін характеристикалық жүйе келесі түрге ие

Әрбір үшін алынған характеристикалық теңдеулерді біріктірсек келесі теңдеулер алынады

,

Енді u-ға қатысты теңдеуді алу керек ол үшін u(x) функциясынан жүйесіне қатысты туынды аламыз:

Сонымен , 2n+1 теңдеуі үшін алынған

(4)

Жүйесі (1) cызықты емес теңдеу үшін характеристикалық жүйе болып табылады.

Қалалық транспорттың қозғалыс теңдеуі

Бұл теңдеу үзіліссіздік теңдеуінен шығады. Қозғалыс теңдеуінің есептерінде тәжіребие арқылы табылған көліктердің жылдамдығының оның тығыздығына тәуелділігін қарастырады. Қалалық транспорттың қозғалыс теңдеуінің моделі келесі түрде жазылады:

Үзіліссіздік теңдеуінен шығады:

20.Бірінші ретті дербес туындылы сызықты теңдеу үшін Коши есебінің шешімі

Бірінші ретті дербес туындылы сызықты теңдеу деп келесі теңдікті айтады:

[u]= (x) +……+ (x) =0 (1)

Дифференциалдық теңдеулер теориясынан = +……+ - векторлық өрістің бағытымен бағытталған дифференциалдық оператор екенін білеміз.Осы

(1)-теңдіктің геометриялық мағынасы мынада:ізделінді u функциясының u=( ,… ) градиенті Ω облысының әрбір нүктесінде (x) векторлық өрісіне ортоганаль.u=u(x) (1)-теңдіктің шешімі болуы үшін (x) өрісінің фазалық қисықтардың бойында тұрақты болуы және мына теңдеулер жүйесінің бірінші интегралы болуы қажет:

(2)

(2)-жүйені векторлық түрде жазуға болады және оны (1)-сызықты теңдеудің характеристикалық жүйесі деп атайды.Характеристикалық жүйенің шешімі теңдеудің характеристикалары ,ал n өлшемді кеңістіктегі векторлық өрісі сызықты теңдеудің характеристикалық векторлық өрісі деп аталады.

(1) теңдеу үшін Коши есебі деп (1)теңдеудің шешімі

бастапқы шартын қанағаттандыратын есепті айтады.

Мысал қарастырайық: =0, = (3) есебін алайық.

Мұндағы характеристекалық векторлық өріс (1;0)бірлік өрісі болып табылады,ал характеристекалары y=C тұрақтылары,ал олардың әрқайсысы γ={(x,y)|y= } кубтық параболаны қиып өтеді.Бастапқы функциясы (γ облысында тең) характеристика бойында тұрақты деп жалғастыраотырып,яғни -тен тәуелсіз деп шешімін аламыз.Бірақ тапқан функциямыздан бойынша туынды табылатындықтан,(3) теңдеу үшін алмастыру енгіземіз,яғни y= ,осылай Коши есебіміздің түрі осындай болады: =0, = ,бұл есептің шешімі ол бойынша және түзуі бойында туындылары табылмайды.