Допустим, что численность популяции за время одной генерации растет экспоненциально. Тогда:

N_t = N₀e^rT, или N_t /N₀ = e^rT

Однако Nt/n0 является отношением численности особей в двух последовательных поколениях, т.Е. Ro. Тогда:

R_o = e^rT

Логарифмируя обе части уравнения, получим lnR_o = rT, тогда:

r = lnRo/T

Для нашей гипотетической популяции r = ln 3 : 30,3 = 0,0363 год^-1.

Если в популяции со временем не происходит существенных изменений возрастной рождаемости и смертности данные, полученные по статистической и когортной таблицам практически совпадают.

Если нет данных по когортному составу населения, значение r можно определить по следующей приближенной формуле:

__ln aE__

(T₁ + T_f)/2

где - Е – среднее количество детей, родившееся у женщины за всю ее жизнь, a – доля рожавших женщин в общей численности популяции (ее можно принять равной 0,5), T₁ и T_f – соответственно средний возраст рождения первого и последнего ребенка.

Проанализируем две гипотетические популяции человека. В первой популяции у каждой женщины рождается в среднем по 10 детей, причем они появляются в возрасте от 30 до 39 лет. Во второй популяции у каждой женщины рождается 5 детей в возрасте от 18 до 22 лет.

Тогда значение r для первой популяции равно

r = ln 5/34,5 = 0,046 год^-1,

а для второй: r = ln2,5/20 = 0,047 год^-1.

Таким образом, скорость роста обоих популяций будет одинаковой.

Изменения численности человечества в историческом масштабе Рост численности человечества в его истории очень неравномерный. Он показан в таблице

Год	Этап промышленного развития	Численность населения, млн. чел.
10 000 лет до н.э.	Переход к от охоты и собирательства к земледелию	200 – 300
1810 - 1830	Начало промышленной революции	1,0
1927		2
1960		3
1974		4
1987		5
1996		5,5
1999		6
2003		6,2
2008		6,8
2011		7.0

С 1927 года человечество вступило в экспоненциальный период роста своей численности («демографический взрыв»).

Уравнение связи численности населения (n, млрд.Человек) от времени (t, годы, считая от 1926 года) в численной форме имеет вид:

N = 1,914 e^{0,016 t}

Из этого уравнения легко рассчитать, что время удвоения численности населения планеты в ХХ веке составляет чуть более 43 лет.

Время удвоения численности населения снижается с увеличением t:

При t = 0,001 – период удвоения равен 690 лет

При ЕПП = 0,01 - 69 лет

При ЕПП = 0,02 - 35 лет

При ЕПП = 0,03 - 25 лет

При ЕПП = 0,04 - 17 лет

Рождаемость и смертность в историческом развитии человечества значительно изменялись.

В период «примитивной стабильности» была высокая рождаемость и высокая смертность. Этот период охватывал огромный исторический интервал – от возникновения человека и до начала промышленной революции. В результате этого численность человечества росла очень медленно.

Второй период – «демографический переход» характеризовался снижением рождаемости при сохранении высокой рождаемости. Это привело к «демографическому взрыву» во второй половине ХХ века.

Третий этап – «современная стабильность» – будет характеризоваться низкой рождаемостью и низкой смертностью и соответственно стабилизацией численности населения на определенном уровне. Некоторые признаки перехода к этому этапу заметны уже сейчас. Рождаемость начала снижаться во многих развивающихся странах, которые ранее вносили наибольший вклад в рост численности населения.

В Беларуси демографические показатели за последние сто лет приведены в таблице:

Годы	Демографические показатели
	Рождае-мость, на 1 тыс. населения	Смерт-ность, на 1 тыс. населения	Детская смертность, на 1 тыс. населения	Прирост населения, на 1 тыс.	Численность населения, тыс. человек	Длите-ность жизни, годы
1913	43.6	23,5	180	20.1	6899
1940	26.8	13,1	121	13.7	9046
1950	25.5	8,0	57.4	17.5	7709
1960	24.4	6.6	34.9	17.8	8 056
1970	16.2	7.6	18.8	8.6	9 002
1980	16.0	9.6	16.3	6.4	9533
1990	13.9	10.7	11.9	4.2	10 152
1995	9.8	13.0	13.3	-3.5	10 244
1998	9.1	13.5	11.3	-4.4	10 045
2000	9,4	13,5	9,3	-4,1	10 001	69,0
2001	9,2	14,1	9,1	-4,9	9 970,7	68,5
2002	8,9	16,8	7,8	-5,9	9 927,5	68,0
2003	9,0	14,5	7,7	-5.5	9 873,7	68,5
2004	9,1	14,3	6,9	-5,2		69,0
2005	9,3	14,5	7,1	-5,2	9 800,1	68,8
2006	9,9	14,2	6,1	-4,3	9 750,5	69,4
2007	10,7	13,7	5,2	-3,0	9 702,1	70,3
2008	11,1	13,8	4,5	-2,7	9 493	70,5
2009	11.5	14.2	4.7	-2.7	9480	70.5
2010	11,4	14,5	4,0	-3,1	9481	70,4
2011	11,5	14,3		-2,8
2012	12,2	13,4		-1,2