5. Қисық сызықты қозғалыстағы жылдамдық жəне үдеу.

Егер материалдық нүкте қозғалғанда оның траекториясы қисық сызық болып келсе, онда қозғалыс қисықсызықты қозғалыс деп аталады. Енді осы қисық сызықты қозғалыс кезіндегі жылдамдық пен үдеудің өзгерісін қарастырайық.

Қисық сызықты қозғалыс кезінде жылдамдық векторы берілген әрбір уақыт мезетінде дене траекториясына қозғалыстың бағыты бойынша жүргізілген жанама бойымен бағытталады. Дененің MN қисық сызығының бойымен қозғалысын қарастырайық.(4-сурет).

Айталық M және N нүктелеріндегі қозғалыс жылдамдықтары және болсын. Ал M нүктесіндегі үдеу мына шамаға тең.

4–суретте көрсетілгендей бойына -ға тең және кесінділерін аламыз. Сонда үдеуді былайша өрнектейміз:

Бұл өрнектің екінші құраушысы жанама немесе тангенциал үдеу деп аталады, себебі Δt→0 кезде OD кесіндісі M нүктесінің маңында айналып, траекторияның жанамасымен беттесуге ұмтылады. Оның сан мәні мынаған тең:

Сонымен үдеу қозғалыс жылдамдығының сан жағынан өзгерісін көрсетеді. Кез келген бірқалыпты қозғалыс үшін болады. нормаль немесе центрге тартқыш үдеу деп аталады, себебі Δt→0 кезде M нүктесіндегі жанамаға перпендикуляр болады. Сөйтіп, нормаль үдеудің сан мәні мына шамаға тең:

Енді ВО кесіндісінің мәні неге тең болатынын қарастырайық. ΔМВО-дан Δα бұрышын шексіз аз шама деп есептесек, ВО=MB Δα=vΔα, өйткені . Сонымен нормаль үдеуді мына түрде жазуға болады: Бұл өрнектің оң жағын Δs–ке көбейтіп және бөлейік, сонда ол түрге келеді. Мұндағы Δs – MN доғасының ұзындығы. Егер геометрия курсынан қисық сызықтың қисықтығы деген ұғымды еске алатын болсақ, онда 4-суретке сәйкес Δs=RΔα . мұндағы R-қисықтық радиусы, Δα - центрлік бұрыш. Олай болса, Δα/ Δs=1/R және M нүктесіндегі жылдамдық Δt уақыт өзгерісіне тәуелді болмайды.

Сөйтіп (1.3.4)

Сонымен, қисық сызықты қозғалыс кезінде нормаль үдеу қозғалыс жылдамдығы бағытының өзгерісін көрсетеді. Кез келген түзу сызықты қозғалыс үшін .

(1.3.1) теңдіктен материалдық нүктенің қисық сызықты қозғалысы кезіндегі толық үдеуі оның нормаль және тангенциал үдеулері векторларының қосындысына тең екендігін көреміз: (1.3.5)

Толық үдеудің бағытын тангенциал үдеу мен толық үдеу немесе нормаль үдеу мен толық үдеу арасындағы бұрыш арқылы көрсетуге болады (5,6-сурет): (1.3.6)

6. Айналмалы қозғалыс. Бұрыштық жылдамдық жəне бұрыштық үдеу.

Шеңбер бойымен қозғалыс. Дененің шеңбер бойымен қозғалысы қисық сызықты қозғалыстың дербес жағдайы болып табылады. орын ауыстыру векторымен қатар радианмен өлшенетін бұрыштық орын ауыстыруын қарастыру ыңғайлы. Доғаның ұзындығы бұрылу бұрышымен

Δl = RΔφ.

қатынаспен байланысты.

Бұрылу бұрышы аз болған кезде Δl ≈ Δs.

1.6.1.-сурет. Дененің шеңбер бойымен сызықты және бұрыштық орын ауыстыруы. 

Шеңбер траекториясының берілген нүктесіндегі бұрыштық жылдамдық деп кішкентай бұрыштық орын ауыстыруының кішкентай уақыт аралығына қатынасының шегін айтады.

Бұрыштық жылдамдық рад/с өлшенеді.

 Сызықтық жылдамдығы мен бұрыштық жылдамдығының арасындағы байланыс

υ = ωR.

Дененің шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалыс кезінде υ және ω шамалары тұрақты болады. Бұл жағдайда векторының бағыты ғана өзгереді.

Дененің шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалысы үдемелі қозғалыс болып табылады.

үдеуі шеңбер радиусы бойынша центріне бағытталады. Оны нормаль немесе центрге тартқыш үдеу деп атайды. Центрге тартқыш үдеудің модулі сызықтық υ және бұрыштық ω жылдамдықтарымен келесі қатынастармен байланысқан:

,

Осы өрнекті дәлелдеу үшін жылдамдық векторының Δt аз уақыт аралығындағы өзгерісін қарастырайық.

Үдеудің анықтамасы бойынша

А және В нүктелеріндегі жылдамдықтардың векторлары осы нүктелердегі шеңберге жүргізілген жанамалардың бойымен бағытталады. Жылдамдықтардың модульдері бірдей: υ_A = υ_B = υ.

ОАВ және ВСD үшбұрыштарының ұқсастықтарынан (1.6.2-сурет):

шығады.

1.6.2.-сурет. Дененің шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалысы кезіндегі центрге тартқыш үдеуі

 Δφ = ωΔt бұрышының кіші мәндерінде |AB| =Δs ≈ υΔt. |OA| = R және |CD| = Δυ болғандықтан 1.6.2.-суреттен үшбұрыштар ұқсастығынан

Δφ-дің кіші бұрыштарында векторының бағыты шеңбер центрінің бағытына жақындайды. Соның салдарынан Δt → 0 болғанда шекке көшкенде:

Дененің шеңбердегі орны ауысқан кезде шеңбер центріне бағыты өзгереді. Дененің шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалысы кезінде үдеу модулі тұрақты қалады, бірақ үдеу векторының бағыты уақытқа байланысты өзгереді. Үдеу векторы шеңбердің кез келген нүктесінде оның центріне бағытталады. Сондықтан шеңбер бойымен түзу сызықты қозғалысы кезіндегі үдеу – центрге тартқыш үдеу деп табылады.

Центрге тартқыш үдеу векторлық формада келесі түрде жазылады:

мұндағы - басы шеңбердің центрінде орналасқан шеңбердегі нүктенің радиус-векторы.

Егер дене шеңбер бойымен бірқалыпсыз қозғалса, онда үдеудің жанама (немесе тангенциал) құраушысы пайда болады.

Бұл формулада Δυ_τ = υ₂ – υ_{1 –} жылдамдық модулінің Δt уақыт аралығындағы өзгерісі.

толық үдеу векторының бағыты шеңбер траекториясының жанама және нормаль үдеулерінің шамаларымен әр нүктеде анықталады (1.6.3.-сурет).

1.6.3.-сурет. Дененің шеңбер бойымен бірқалыпсыз қозғалыс үдеуінің және құраушылары. 

Дененің шеңбер бойымен қозғалысы х және у екі координатасы (жазық қозғалыс) арқылы сипаттауға болады. Дененің әр моменттегі жылдамдығын екі құраушыға υ_x және υ_y жіктеуге болады (1.6.4.-сурет).

Дененің бірқалыпты қозғалысы кезіндегі x, y, υ_x, υ_y шамалары уақыт өзгерісінде периоды

тең гармониялық заң бойынша өзгереді.

1.6.4.-сурет. жылдамдық векторының координат осьтері бойынша жіктелуі.