1.2 Решение систем линейных уравнений
Дана система:
1. Метод Гаусса. Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы, и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:
перестановка строк или столбцов;
умножение строки на число, отличное от нуля;
прибавление к одной строке другие строки.
2. Матричный метод. Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов:
,
получаем решение матричного уравнения
в виде X = A-1B
Пример 7: Решить систему методом Гаусса.
решая систему с
конца, получим z=1,
y=1,
x=1
Пример 8: Решить систему методом обратной матрицы
Раздел 2. Основы дифференциального исчисления
2.1 Понятие производной. Правила и формулы дифференцирования. Производная сложной функции
Рассмотрим
задачу:
Точка движется по параболе неравномерно.
Дана парабола
и два промежутка (1; 2) и (3; 4). Найти скорость
движения точки по параболе в указанных
промежутках.
Решение:
- средняя скорость
движения точки на указанном промежутке.
Найдем среднюю
скорость движения точки на первом
промежутке. Рассмотрим рисунок 1. Здесь
и
.
Подставив
э
и
.
Тогда
.
Аналогично при
и
находим
и
.
Тогда
.
Рисунок1 - Движение точки по параболе
Чем меньше промежуток, тем точнее средняя скорость выражает действительную скорость движения точки по параболе.
Значение скорости
движения точки в общем виде выражают
формулой:
- производная
функции
.
Создатели: Лейбниц, Ньютон, Эйлер.
Определение: Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю
Дифференцирование – это операция нахождения производной функции.
Пример: Найти
производную функции
по определению.
Решение: Будем искать производную по определению
Получаем следующее выражение:
.
Дифференцирование состоит из двух этапов:
применение правил дифференцирования;
применение формул дифференцирования.
Правила и формулы дифференцирования.
С – const; u, v – функции
1.
2.
–для
конечного числа слагаемых
3.
4.
Таблица 1 - Таблица производных
|
|
8.
|
13.
|
|
|
9.
|
14.
|
|
10.
|
15.
|
|
|
11.
|
16.
|
|
|
12.
|
17.
|
;
Примеры:
1)
Применяем
правило:
,
получим:
,
т.к.
;
2)
Применяем
правило:
,
получим:
,
т.к.
;
3)
Применяем
правило:
,
получим:
,
т.к.
;
4)
Применяем
правило:
,
получим:
,
т.к.
;
5)
Применяем
правило:
,
получим:
,
т.к.
;
Аналогично:
6)
,
получим:
;
7)
По
формуле
,
получим:
;
Аналогично:
8)
, получим:
;
9)
, получим:
;
10)
По
правилу
,
получим:
;
11)
Применяем
правило:
,
получим:
;
12)
Применяем
правило:
,
получим:
;
Решите самостоятельно:
а)
;
б)
(по правилу умножения и по правилу
частного)
Производная сложной функции
Пусть дана сложная функция y=g(u), где u=f(x).
Теорема 1. Если функция u=f(x) дифференцируема в некоторой точке x, а функция y=g(u) определена на множестве значений функции f(x) и дифференцируема в точке u=f(x), то сложная функция y=g(f(x)) в данной точке x имеет производную, которая находится по формуле
или
(3)
Примеры:
1) Найти производную функции
Данная функция является сложной степенной функцией y= u9 , где
u
=
.
Поэтому получим:
2) Найти производную функции
Эта функция также является сложной степенной функцией, а именно
, где u=
.
Поэтому
