Представление двоичных чисел

Беззнаковые числа

Max(2)	1	1	1	1	1	1	1	1
Min(2)	0	0	0	0	0	0	0	0

Xmax=2⁸-1=255

В ячейках целые числа выравниваются по правому краю.

1

0

1

1

0

1

0

0

Прямой код:

При записи целых со знаком один разряд отводится под знак. В знаковый разряд записывается единица, если число отрицательное, и ноль, если число положительное. Для хранения числа используется n-1 разряд, тогда наибольшее число со знаком будет 2^n-1-1.

Знак +	значение
0	1	1	1	1	1	1	1

2⁷-1=127

Система кодирования целых со знаком, в которой левый бит отводится под знак, а остальные биты есть абсолютные значения, называется прямым кодом.

Обратный код:

Положительные числа в обратном коде записываются так же, как и в прямом. Изменения касаются отрицательного числа. Для получения обратного кода отрицательного числа все биты прямого кода(кроме знакового) заменяются на противоположные.

Прямой и обратный коды
Число	Прямой код	Обратный код
127	01111111	01111111
5	00000101	00000101
1	00000001	00000001
-1	10000001	11111110
-5	10000101	11111010
-127	11111111	10000000

Дополнительный код:

Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом. Для получения дополнительного кода отрицательно числа, его значение сначала переводится из прямого кода в обратный код, а затем добавляем единицу.

Число	Прямой код	Дополнительный код
5	0101	0101
1	0001	0001
-1	1001	1111
-5	1101	1011

Смещенный код:

В этом коде все ячейки, включая знаковый бит, используется для записи беззнакового кода. Коды положительных и отрицательных чисел образуются по единой формуле Хсмещ.=2^n-1+х.

Число	Смещенный код
5	10000101
1	10000001
0	10000000
-1	01111111
-5	01111011

N=8, 2^n-1=2⁷=128

Xcмещ.=128+Х

В смещенном коде все положительные числа и ноль имеют единицу в левом бите, а отрицательные ноль. Числа от -128 до 127 выражаются числом от 0 до 255, и их можно записывать в положительном коде.

Дробные числа.

Числа с фиксированной точкой.

1. Числа по абсолютной величине меньше 1. |x|<1

Они имеют вид ±0. B-1 b-2… bi-двоичные числа.

Для записи в ячейку памяти символы ноль и точка не изображаются, а число записывается в виде сокращенного кода.

Ϛ b-1 b-2 …, где Ϛ=0, если x>0 и Ϛ=1, если x<02

2. Число смешанное |x|<2

±b₀. b-1 b-2…

Точку можно опустить, т.к. она всегда стоит после левой цифры, а в память записывается число Ϛb₀b-1 b-2…

Частный случай, если записываются целые числа, то у них точка ставится после крайней правой цифры.

Числа с плавающей точкой.

X=M_x*S^Px, где Mx – мантисса Х, Рх – целое со знаком, S- основание СС

Примеры:

X=16,125 ₁₀

X1=0.16125*10²

X2=0.016125*10³

X3=1612.5*10^-2

X=16.125₁₀=10000.001*2⁰

X1=1.0000001*2^-100

X2=0.10000001*2^-101

Количество вариантов кодирования числа не ограничено. Однако, не все годятся для записи в памяти. Мантисса записывается как число с ФТ, т.к. ее сокращенный код и, как правило, мантисса по модулю меньше единицы.(|Mx|<1)

Порядок числа – это целое число со знаком. Логично было бы разбить ячейку на 4 части. Однако, порядок числа записывается в коде со смещением, поэтому нет позиции для знака. Мантисса записывается в память в прямом коде. Знаковая позиция имеет самостоятельное значение.

Формат записи:

Px

Mx

Знак мантиссы

Число называется нормализованным, если порядок числа имеет наименьшее возможное значение.

Нормализованные числа

Дано: х=11.011₂ и у=0.00101₂

|M|<1 : х=11.011=011011*2⁰¹⁰ Рх=010

Мх=11011

У=0.00101=0.101*2^-010

M_y=101, P_y=-010

|M|<2: Xн=1.1011*2⁰⁰¹, Ун=1.01*2^-011

Мх=1011, Рх=011; Му=01, Ру=-011

Диапазон и точность

Эти понятия связаны с представлением чисел в памяти компьютера и являются важными характеристиками. Для записи числа с ПТ ячейка делится на 2 части : К – разрядов для записи порядка, S – разрядов для записи М. Надо помнить, что самый левый разряд отводится под знак числа.

Другие характеристики ячейки:

1. Максимальное записываемое число

2. Минимальное по абсолютной величине, отличное от 0

3. Абсолютная погрешность представления числа

4. Относительная погрешность

Максимальные и минимальные числа(приближенные)
Формат	Хmax	Xmin
Целые	2n	1
Числа с ФТ(x<1)	1	2-n
Числа с ПТ(|M|<1)	22^k-1-1	2-2^k-1-S
Числа с ПТ(0<|M|<1)	22^k-1-1	2-2^k-1-1

Формат для записи числа с ПТ

S

K

Знак

N – число разрядов для числа, К- число разрядов для порядка, S – число разрядов для мантиссы

Абсолютная погрешность

Это разность между точным значением числа и приближенными.

Абсолютная погрешность
Формат	ΔX абсолютной погрешности
Целые	1
С ФТ	2-n
С ПТ	2Px-S

n- Число разрядов, S – число разрядов под мантиссу

Диапазон абсолютной погрешности
Формат	min ΔX	ΔX	Max ΔX
Целые	1	1	1
С ФТ	2-n	2-n	2-n
С ПТ	2-n^k-1-S	2Px-S	22^k-1-S-1

Относительная погрешность

δx = Δx/X*100[%]

Δx-абсолютная погрешность, х – значение числа

Относительная погрешность
Формат	Min δx	δx	Max δx
Целые	2-n	1/x	1
С ФТ	2-n	2-n/x	1
С ПТ	2-S	2-S/Mx	1
С ПТ(нормализованная)	2-S	2-S/Mx	2-S+1

n- Число разрядов в ячейке, S- число разрядов для мантиссы, Mx- мантисса

Относительная погрешность для целых и чисел с ФТ лежит в одинаково широком диапазоне(до1).

В левой части Δx приемлема, а в правой части неудовлетворительна. Для нормализованных чисел диапазон узкий и обеспечивается одинаковая погрешность для всех чисел, которая зависит от количества знаков мантиссы(S).

Представление текста. Кодирование символов.

ПК должен хранить и перерабатывать нечисловую информацию, записанную символами. Для размещения символов в памяти используются их двоичные коды. Существует несколько систем кодирования символов. Наиболее распространена ASCII(American Standard Code for Information Interchange).

Каждому символу ставится в соответствие определенная комбинация из восьми значений 0 и 1.

Код А – 01000001 это 41 в 16 СС

В – 01000010 это 42 в 16 СС

Коды чисел 0->30, 1->31.. 9-39

Число 91 – 0011(3) 1001(9) 0011(3) 0001(1); 3, 9, 3, 1 – символы

Все символы в американских текстах можно закодировать с помощью 128 значений кодов. В общем 8-битовый код позволяет записать 256 символов. Младшая половина таблицы кодов соответствует американским стандартам. Старшие 128-256 для представления национальных алфавитов. Старшая часть кодов называется зоной, младшая – цифровой.

EBCDIC(Expanded Binary Coded Decimal Interchange Code)

Кодирование десятичных чисел

Числа – это часть текста и рассматриваются как символы, поэтому их кодируют 16-ричными цифрами, т.к. у цифр одна зона, ее можно опустить, когда нужно хранить большие массивы чисел, а символов среди них нет, тогда записи используют упакованный формат – код BDC(Binary Decimal Code).

Вывод: с числами можно поступать следующим образом:

1) хранить в памяти в формате ASCII

2) хранить в упакованном формате

3) перевести в 2 СС