4.4 Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования в пространстве.
Определение: Трехмерная область Ω называется поверхностно односвязной, если на любой простой кусочно-гладкий замкнутый контур, принадлежащий области Ω, можно «натянуть плёнку», целиком лежащую в области Ω. Примерами поверхностно односвязной области являются шар, эллипсоид, полупространство, все пространство. Примером области, которая не является поверхностно односвязной, является тор.
Теорема 3. Пусть P(x,y,z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z) непрерывны вместе с частными производными первого порядка в поверхностно односвязной области Ω. Для того, чтобы криволинейный интеграл
не
зависел от пути интегрирования в Ω,
необходимо и достаточно, чтобы в Ω
выполнялись тождества:
;
.
Если криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то справедлива формула:
.
Лекция 5
Тема: Числовой ряд. Ряд из членов геометрической прогрессии. Необходимый признак сходимости ряда. Действие над рядами. Законоположительные ряды. Признаки сравнения.
5.1 Определение ряда. Определение сходимости ряда. Примеры.
Определение
1.
Выражение вида
+
=
называется рядом,
,
…-
члены ряда,
-
общий член ряда.
Вначале будем изучать ряды, членами которых являются действительные числа.
Приведем примеры рядов:
– гармонический
ряд,
=
+
q+
+…
а
-
первый член прогрессии, q
- знаменатель прогрессии.
Определение
2.
Ряд
называется сходящимся, если существует
предел его частных сумм, т.е.
,
где
-
сумма первых n
членов ряда. Если
не существует, то ряд называется
расходящимся.
Пример 1. Исследовать на сходимость гармонический ряд
Решение:
Рассмотрим группу слагаемых
,
где каждая их скобок больше
.
Отсюда
следует, что
,
т.е. предел не существует, т.к. при n
число
скобок в
тоже стремиться к
.
Гармонический ряд расходится.
Пример
2.
Исследовать на сходимость ряд из членов
геометрической прогрессии
,
a
,
q
Решение: Рассмотрим частичную сумму данного ряда.
q
(1-q)
Если
q
то
=
.
Рассмотрим предел частичных сумм:
=
Остается рассмотреть случай, когда q=1. В этом случае имеем ряд а+а+а….,
,
т.к. а
.
Итак,
ряд из членов геометрической прогрессии
при
сходится и его сумма s=
,
а при
расходится.
Пример
3.
Найти сумму ряда
.
Решение.
Данный ряд
является
рядом из членов геометрической прогрессии,
где а=2,
q=
Так как
, то данный ряд сходится и s=
Пример
4.
Исследовать на сходимость ряд
.
Является рядом из членов геометрической
прогрессии, где a=-2,
q=
-1. Так как
,
то данный ряд расходится.
5.2 Необходимый признак сходимости.
Теорема 1. Если ряд сходится, то предел его общего члена равен 0,
т.е.
.
Доказательство. По условию данный ряд сходится. Это означает, что
,
…
=
lim(
-
)=
.
Следствие. Если общий член ряда к нулю не стремится, то ряд расходится.
5.3 Действие над рядами.
1) Сложение рядов.
Пусть
даны два ряда
Суммой двух рядов называется ряд
Теорема
2. Если
ряды
сходятся соответственно к
то ряд
сходится к
.
Доказательство.
По условию ряды
сходятся, то
и
2) Умножение ряда на число.
Произведение
ряда
на число
или числа
на ряд
называется ряд
(3)
Теорема
3.
Если ряд
сходится и его сумма равна s,
то ряд
тоже сходится и его сумма равна
.
Если
то оба ряда
и
либо одновременно сходятся или
одновременно расходятся.
Доказательство.
Справедливость
теоремы вытекает из равенства:
Теорема 4. Сходимость ряда не измениться если отбросить или прибавить конечное число первых членов ряда.
Доказательство. Рассмотрим два ряда:
+
+….+
+
…+
+…
(4)
+
+…+
+…
(5)
Справедливость теоремы вытекает из равенства:
=
+
+….+
+
…+
=
+
,где
является константой, не зависящей от
n.